Carta a Andrés Manuel López Obrador

Querido y admirado Presidente:

Siempre queda corto cualquier saludo de una carta que se escribe a una persona cercana, entrañable, como un padre, un hermano, un buen amigo, un maestro, alguien que ha estado presente en la vida de uno desde hace años, décadas, toda una vida, o buena parte de esta. Este es el caso. Tú has sido esa parte importante de mi vida desde hace casi un cuarto de siglo. Has sido una guía, una inspiración, un símbolo, un patriota, un líder, un maestro, un titán. De nuevo todas estas palabras parecen cursis o huecas para quien las leyera desde fuera, sin haber vivido nuestra historia, la de millones de mexicanos que hemos estado a tu lado desde el año del Desafuero y que no dudamos en seguir gritando ¡Es un honor estar con Obrador!

Nuestra historia está llena de anécdotas, obstáculos, derrotas, triunfos, momentos oscuros e instantes sublimes. Como aquella vez en el Plantón, sobre la calle de Madero, cuando puse una frase en un gran pedazo de papel Kraft en el que la gente plasmaba sus propios pensamientos. "Estamos en la cresta de la Historia" escribí. Tiempo más tarde, al leer el libro de Elena Poniatowska "Amanecer en el Zócalo" descubrí mi frase en una página: ella la había registrado al describir ese mismo sitio. O el periódico mural que organizamos varios colegas del departamento en la universidad donde soy profesor, en el que poníamos la información importante sobre el Movimiento, con fotos, explicaciones y los datos de medios alternativos, tan marginales en aquel momento, y cuando había una gran concentración, la palabra ¡ZÓCALO! con grandes letras que cruzaban en diagonal todo el periódico. O las propias mantas que mandaba a hacer con un maestro rotulista que me miraba siempre con complicidad, y luego yo las colocaba en la azotea de mi casa para difundir la información sobre alguna de las muchas manifestaciones.

O las tres o cuatro veces que te extendí la mano para saludarte y me la estrechabas, y en algunas de esas ocasiones parecías reconocerme de las veces anteriores. Una vez incluso platicamos unos minutos cuando fui invitado como parte del público en una entrevista que te hicieron en la W. Eran los tiempos difíciles, en los que teníamos apenas un hilito de esperanza,  y me dijiste que había qué seguir y organizarnos en comités. O aquella manifestación junto a la torre de Pemex, a la que fui con una bandera que confeccionó mi suegra y en la que mandé bordar el escudo del águila juarista. La misma que aparecía en los billetes de veinte pesos y que el gobierno de Calderón quitó. Entonces cada vez que me daban un billete de esos yo no los aceptaba porque no llevaba el símbolo de nuestro movimiento.

No puedo menos de darle gracias a la vida que me ha dado la oportunidad de ser contemporáneo de un personaje histórico del nivel de Hidalgo, Juárez, Madero, Cárdenas, Y todavía más que eso, como tú mismo lo dices, la oportunidad de haber sido parte de un gran movimiento social, triunfante y transformador, que va incluso más allá de las anteriores tres transformaciones, porque este es un proceso gradual, pacífico, colectivo, sólido, que parece irreversible.

Gracias Presidente, por ese empujón que diste, por esa huella que imprimiste, por ese despertar que lideraste para nuestra gran nación y su portentosa Historia..

Hasta siempre Andrés Manuel.

Rogelio.

El Salto de las Auroras

Fue después del Día de las Madres, el 10 de mayo. La noche en que se vieron auroras boreales en lugares inéditos de México y del mundo. En Hermosillo, Mexicali, Cancún, en Cuba, en el sur de España. Y era el año 2024. El día anterior estábamos en diciembre de 2015.

Desperté en la madrugada con todo el cuerpo profundamente adolorido, como si hubiera corrido un maratón el día anterior. Me levanté con mucho esfuerzo y entré al baño: era otro, con azulejos y piso inusuales y todos los muebles cambiados. Ahí me miré al espejo y mi cara era extraña: estaba muy demacrado, con ojeras, y me pareció que con más canas en cabello y barba, y más arrugas en la cara. Quedé pasmado un largo rato mirándome y luego volví a la cama. Tardé en dormir de nuevo, pero me venció el enorme cansancio que sentía. 

Al día siguiente me desperté en otro mundo. Era mi casa, mi familia, mis objetos, pero de la noche a la mañana se habían realizado cambios muy drásticos. Ya mencioné algunos muebles y objetos que antes no estaban. Así como yo, mi esposa tenía otra cara, como si de pronto se hubiera enfermado. Mi hija, que el día anterior era una niña de primaria, parecía una joven universitaria. Mi teléfono era otro modelo, con varias aplicaciones desconocidas e interesantes. Una de ellas, el calendario, marcaba el 11 de mayo de 2024. Y entonces sentí con un golpe en el corazón la conciencia de lo sucedido. El tiempo había pasado como un tsunami sobre nosotros. Habían transcurrido más de ocho años. Y yo había aparecido en el cuerpo de mi yo futuro, que ahora era ocupado por el yo del pasado.

Comprendí que no había manera de convencer, ni siquiera a mi propia familia, de lo que había sucedido realmente. Lo interpretarían como una broma o como una alteración de mi psique. Sólo me quedaba aguantar mi nueva condición en solitario. Pero esto no es sencillo: tuve que informarme obsesivamente de todo lo que había acontecido en mí, en mi casa, en mi país y en el mundo durante esos ocho años. Por supuesto tenía que enterarme primero de los acontecimientos más notables, incluyendo los grandes cataclismos en México y en todo el planeta. Hubo una pandemia como no se había visto en un siglo, que paralizó la humanidad entera durante dos años. Hay una guerra en Ucrania que ya lleva más de dos años por una invasión de Rusia. Israel está acabando de destruir la franja de Gaza, cometiendo un genocidio que ya lleva varios meses. Hubo un terremoto en México, casi tan letal como el de 1985. Un huracán destruyó Acapulco y se tuvo que reconstruir completamente.

La realidad política de mi país es extraordinaria e impactante para mí: después de décadas de lucha y evolución de la izquierda, esta llegó al poder de la presidencia de México, a manos del perseverante líder Andrés Manuel López Obrador, quien triunfó contundentemente en el tercer intento, tras una hilera continua e interminable de obstáculos, que no terminó a lo largo de todo el sexenio. En el momento de mi llegada, faltaba menos de un mes para las elecciones presidenciales, y el clima político era un pandemónium. Finalmente la izquierda refrendó el 2 de junio una victoria aplastante y por primera vez en 200 años de Historia de México, la república tiene una mujer presidenta: Claudia Sheinbaum, quien ha sido muy cercana a AMLO desde hace más de dos décadas, pero yo no imaginaba que llegaría a tener un papel tan importante en la Historia. 

Pero lo más difícil ha sido informarme sobre mí mismo. Por fortuna he mantenido la costumbre de escribir día con día mis actividades en agendas anuales desde los años noventas del siglo anterior. Así que he tenido que estudiar, casi memorizar, cada página de estas agendas de 2015 a 2024, escritas por un Rogelio que vivió normalmente estos ocho años. Esto me lleva a preguntar por ese Rogelio. ¿Dónde está? ¿Este salto que yo realicé provocó un corrimiento y el otro Rogelio también saltó unos años en el futuro, y está viviendo ahora la misma traumática experiencia que yo estoy viviendo, pero en el año 2032? Esto asumiendo que todos los saltos son de ocho años, aproximadamente. O peor aún, ¿ese Rogelio regresó a sustituirme en el año 2015 y vivirá de nuevo todas esas experiencias? En ese caso ¿sigue teniendo el recuerdo de ellas? ¿En cualquier caso podría modificarlas? ¿Se trata de una realidad alterna? Todas estas preguntas me han quitado el sueño y no creo que pueda responderlas algún día.

Pero volviendo a mi nueva cotidianeidad, es el estudio de estas agendas lo que me ha permitido sobrellevar una pérdida de la memoria de estos ocho años, sencillamente porque yo no los he vivido. El Rogelio que sí los vivió fue dos veces a Londres con su hija, fue coordinador de un posgrado, escribió varios artículos, hizo varios videos, se volvió obsesivamente aficionado al tenis, al grado de ver todos los torneos y estar al tanto de los rankings y las estadísticas. Por cierto que las grandes leyendas del tenis, Serena y Federer, se han retirado, y parece que Nadal lo hará pronto. Una tenista española, Garbiñe Muguruza, fue la principal obsesión tenística de ese Rogelio desde 2017 hasta que ella se retiró hace unos meses.

Así que ahora escribo en este blog como acostumbraba. Sólo que ahora la fecha resulta ser ocho años más tarde, debido a un suceso inexplicable con el que estoy aprendiendo a convivir. 

Macbeth, la nueva versión cinematográfica que es una joya verdaderamente shakespeariana.

Entrado en reseñas, ahora escribo la de una joya cinematográfica que ha llegado a nosotros desde Australia, considerando que ese es el país de origen del joven director Justin Kurzel. Esta es su segunda película (habiendo participado anteriormente en una recopilación de cortos después de su ópera prima Snowtown), y esperaremos con ansia la siguiente. El reto era enorme: poner en el cine una de las más grandes tragedias de Shakespeare, sin caer en los diversos caminos zurcados por directores como Kurosawa o Polanski, y por actores como Orson Welles, Patrick Stewart o Ian McKellen. Una vez caída en esos enormes zurcos, la comparación estaría prácticamente perdida. Pero en cambio, tenemos una versión original, sólida, a la altura de las mencionadas, y lo más importante, con un profundo y original sabor a Shakespeare.

Kurzel se permite un estilo sobrio, reflexivo, contemplativo, contrario a la tendencia espectacular del mainstream, muy a la manera del cine ruso como el de Eisenstein o el de Tarkovski. Es un estilo sólido y congruente que se conserva de principio a fin, y resulta muy adecuado a la tragedia original, maridando deliciosamente con los vastos y fríos paisajes escoceses del medioevo. La fotografía es uno de las caras más notables de este diamante. No sólo los grandes planos secuencia (de nuevo Tarkovsky), sino, contrapunteando, los close-ups y las cámaras lentas de los detalles en ciertas escenas, entre otras cosas.

Las actuaciones son excelsas, por supuesto encabezándolas Michael Fassbender (Macbeth) y Marion Cotillard (Lady Macbeth) que hace un personaje a la altura dramática de ese otro inolvidable y  tan diferente como Edith Piaf en La Vie en Rose. La actuación de ambos encaja en el estilo contemplativo de toda la obra, y el espectador puede introducirse en los universos horrorosos de ambos personajes, y puede comprender la maquinaria de locura y de muerte que ambos construyen, movidos por los hilos de las brujas.

Aquí también cabe destacar a las brujas, quienes sorpresivamente aparecen acompañadas de una niña y un bebé. Y dentro del estilo sobrio, no presentan ninguna característica física que acentúe su sobrenaturaleza, como es usual. Su apariencia es la de cualquier grupo de mujeres campesinas. Su sobrenaturaleza consiste en el momento en que aparecen, y en la actitud de absoluto testimonio. Esta característica la comparten los fantasmas que se aparecen ante Macbeth, como unos personajes más en alguna concurrencia, casi sin destacarse, presentando si acaso sus heridas de muerte.

La tragedia es expuesta al máximo: la maquinaria de muerte construida por los Macbeth termina consumiéndolos. Fassbender y Cotillard forman una pareja impresionante dentro de un escenario inolvidable elaborado por un joven maestro. Tengo una gran inquietud por ver su próxima película, Assassin's Creed, en la que probablemente el trío Kurzel-Fassbender-Cotillard volverá a esculpir algo interesante, por lo menos. Veamos.

Víctor Frankenstein, otra versión cinematográfica del mito.

Ayer fui a ver la nueva versión cinematográfica de Frankenstein, llamada Víctor Frankenstein, dirigida por el escocés Paul McGuigan y estelarizada por James McAvoy (Víctor) y Daniel Radcliffe (Igor). Para mí que soy un adorador del mito de Frankenstein y para quien la novela de Mary W. Shelley es el manantial desde donde brota la esencia de dicho mito, es inevitable mirar cualquier manifestación artística de este mito.

Esta película tiene todos los recursos de que dispone una producción (¿o superproducción?) del mainstream cinematográfico mundial. Plantea un énfasis casi total, como lo indica el título, en el personaje de Víctor Frankenstein. Ya esto es para mí una mutilación del mito, cuya principal característica radica en que se trata de un doble mito, centrado en dos seres que coexisten en la tragedia con la misma intensidad dramática, es decir, Frankenstein y la Criatura. Desde la primera hasta la última página de la novela de Mary W. Shelley la historia trágica se teje con estos dos hilos robustos. La tragedia deviene de esta coexistencia indisoluble.

Es cierto que antes de la creación del monstruo, su estado embrionario consiste en la materia muerta a la que Víctor quiere dotar de vida en su obsesión por vencer las leyes de la Naturaleza, y por lo cual Mary W. Shelley llamó a Frankenstein el Moderno Prometeo. La película narra todo este período previo a la creación y finaliza con esta. Así que aquí, la Criatura no pasa de ser un embrión y al final es una creación puramente violenta, en la que no se aprecia la conciencia. La tragedia del mito está cercenada, porque es precisamente la conciencia de la Criatura el motor de esta tragedia.

Asumiendo esta grave amputación, veamos pues a Víctor en su obsesión por animar la materia muerta. Esta es en efecto la motivación del personaje de la película, justificada por la muerte de un hermano mayor, llamado Henry, dentro de la alteración que hace el guión sobre la familia Frankenstein, respecto de la novela concebida por Mary W. Shelley. Es decir, la obsesión es rebajada a un terreno humano, pues el Víctor Frankenstein de la novela no necesita de parientes muertos que haya que revivir. Su obsesión es titánica, como la de Prometeo: es quitarle a los dioses o a la Naturaleza el derecho exclusivo de dotar vida. El director le indica al actor que haga a un obsesivo al borde de la locura y el resultado es una sobreactuación de McAvoy, a base de expresiones artificiales que enmascaran la obsesión más sutil y poderosa del personaje literario.

Otras sobreactuaciones están presentes: la del niño rico que financia el proyecto de Frankenstein, convirtiéndolo en algo que pudiera haber organizado la NASA, en vez de el hombre maniaco y solitario que tiene un proyecto íntimo. Pero también está la de Andrew Scott, que personifica un Sherlock Holmes católico, a manera de antagonista, quien llega al paroxismo de la sobreactuación con las expresiones faciales de sorpresa al llegar al castillo que ha explotado con una sobrecarga. Es lamentable, tratándose del actor que hizo un excelente Moriarty en la serie Sherlock, que entre otros fue dirigida por Paul McGuigan. (Pareciera que el director quiso llevarse la producción de Sherlock al mito de Frankenstein.)

La película tiene como co-protagonista a Igor, el asistente de Frankenstein que comenzó a aparecer por lo menos desde la película de 1931 y que se ha vuelto parte del estereotipo. Es la inserción de este personaje en el guión la que salva la pelicula, aunque Igor mismo no se salva del pandemonium (que pretende ser climático) previo al final anticlimático: el monstruo destruido (por lo menos lo hubieran dejado vivo y suelto), Frankenstein exiliado, prometiendo nuevas obsesiones (mundanas) e Igor y Lorelei felices con sus vestuarios elegantes que nadie sabe cuándo habrán de devolver, pues su estatus económico y social no está claramente resuelto. La actuación de Radcliffe, quien está logrando desprenderse de Harry Potter, es muy interesante al principio de la película y después cumple su papel mejor que McAvoy. Teniendo como referencia de nuevo la novela, Igor juega el papel de Henry, el amigo de Víctor, quien no participa mucho de la obsesión y el proyecto de él, lo cual muestra el grado de intimidad que tiene este proyecto para Víctor. Dicho sea de paso, en la novela Henry acaba siendo también asesinado por la Criatura.

Interesante y visual, es lo que me queda para calificar esta película, que por lo menos no llega a la mediocridad del churro de 2014, I, Frankenstein.

Jean Sibelius y el Cubo de Rubik

Hace dos días fui a un concierto de la OFUNAM. La atracción principal era el Concierto para piano no. 4 de Beethoven, con un brillante joven pianista chino, Haochen Zhang, pero tuve el agradable añadido de apreciar la Segunda sinfonía de Jean Sibelius, quien este año cumple los 150 años de nacido. Me topé en el programa de mano con un excepcional texto sobre dicha obra de Sibelius y el cubo de Rubik, de Roberto Ruiz Guadalajara, y lo reproduzco completo a continuación:

<<Todos sabemos que un cubo de Rubik, al igual que cualquier otro cubo "bien educado", tiene seis caras, cada una dividida en nueve pequeños cuadrados. Pero en él, cuando está "armado", cada cara es de un color distinto: rojo, azul, verde, amarillo, naranja y blanco. Gracias a un mecanismo giratorio los pequeños cuadrados pueden desplazarse a ocupar una cara distinta a la de su color original, en un proceso de descomposición del orden cromático inicial, en el que cada pequeño cuadrado puede combinarse sólo con algunos otros, pues cada uno de los cuadrados que están ubicados en las esquinas del cubo se encuentra irremediablemente unido a otros dos, formando en total ocho semicubos de tres caras, mientras que cada uno de los cuadrados que se encuentra en el extremo de cada una de las bandas centrales está inevitablemente casado con otro de un color diferente, formando un total de doce parejas, además de que en el centro de cada cara del cubo hay un cuadrado libre de transitar por la superficie del mismo sin estar "comprometido" con ningún otro cuadrado, pero eso sí, obligado siempre a ocupar el centro de cada cara, de tal manera que hay un cuadrado feliz por cada cara del cubo, lo que da un total de seis. De tal forma que ocho tríos de cuadrados, más doce parejas, más seis cuadrados solteros dan en total los cincuenta y cuatro cuadrados pequeños que uno tiene que ir acomodando y desacomodando hasta lograr que todos los de igual color habiten en perfecta armonía en la misma cara del cubo.

Si quisiéramos establecer una comparación entre el cubo de Rubik y los procesos que sigue Jean Sibelius para dar forma a su Segunda sinfonía, diríamos que Sibelius comienza su trabajo constructivo con un cubo desordenado en el que cada cuadrado es un pequeño motivo rítmico-melódico que puede ser simple (como los cuadrados solteros), o más complejo (como los cuadrados casados o los que viven en trío), a diferencia de lo que hace un compositor en una sinfonía tradicional, donde desde el principio presenta completos los temas con los que va a trabajar (sobre todo en el primer y último movimientos), y los va descomponiendo mostrando sus distintas posibilidades de elaboración o de combinación con otros temas (como si comenzara con un cubo "armado" y fuera separando y combinando sus componentes para crear nuevos diseños en cada cara, para al final regresar a la forma original). En cambio Sibelius parte de presentar los pequeños motivos (solteros, casados o en trío), para ir desarrollándolos y combinándolos a lo largo  de toda la sinfonía hasta llegar a la plena realización de la gran idea, que fue construyéndose paciente e inteligentemente a lo largo del proceso, al igual que al armar el cubo de Rubik poco a poco cada cara va alojando a todos y cada uno de los pequeños cuadrados que la conforman, hasta hacer surgir el gran cubo-melodía de seis colores en el que la individualidad de cada uno de los motivos encuentra su sentido en función del todo. El proceso abarca los cuatro movimientos de la obra, por lo que uno puede tener la sensación de que cada movimiento aislado suena inconcluso o no conduce a nada, salvo el último, que si se escucha por separado, produce el mismo efecto de llegar a una fiesta cuando ya todos están ebrios y cantando.

La práctica de utilizar pequeños motivos y sus transformaciones a manera de tabiques o módulos para construir una estructura que permita alcanzar una imagen final, encuentra antecedentes remotos en el tratado Sobre la música de San Agustín, en el que este define la música como "la ciencia del bien modular", que significa el conocimiento que permite medir bien, y por lo tanto pronunciar correctamente la sonoridad de las sílabas que forman las palabras para extraer de ellas su fuerza creadora, la misma que llevó a Dios a crear el mundo a partir del verbo. También está presente en las prácticas de los cabalistas medievales que permutaban las palabras de la Torá para encontrar el nombre de Dios. Y en tiempos más cercanos a Sibelius encontramos ejemplos muy claros en la Quinta sinfonía de Beethoven (en la que el motivo de cuatro sonidos con el que inicia se va transformando a lo largo de los cuatro movimientos), o en el Concierto para piano y orquesta no. 1 de Tchaikovsky, en el que al igual que en la Quinta de Beethoven, un motivo de cuatro sonidos pasa por todo tipo de vicisitudes a lo largo de la obra hasta alcanzar su apoteosis final.

No es gratuito evocar a San Agustín o a los cabalistas, que tan bien conocían el poder de las palabras, pues en el canto XVII del Kalevala, libro que tanto inspiró a Jean Sibelius, se narra cómo el viejo y sabio bardo Väinamöinen desciende a las entrañas del gigante Antero Vipunen, cuyo inmenso cuerpo yace en lo profundo de los bosques, buscano en él las palabras necesarias para construir el barco que le ha pedido en prenda la hija de la Dama de Pohjola para darle su mano. La Segunda sinfonía de Sibelius, es  como un enorme barco construido a lo largo de los tres primeros movimientos, y cuya estructura total sólo podemos contemplar al final de la obra antes de lanzarlo a las aguas misteriosas de la memoria. El mismo Sibelius dijo. "Es como si el Todopoderoso hubiera arrojado mosaicos del piso del cielo y me hubiera pedido que los armara.">>

Una fórmula directa para los Números de Fibonacci

Los Números de Fibonacci son aquellos que se obtienen de la siguiente fórmula recursiva:
$$\begin{align}
x_0 &=1 \\
x_1 &=1 \\
x_{n+2} &=x_n+x_{n+1}
\end{align}$$
Esto significa que, considerando que los dos primeros números en la lista son \(1\) y \(1\), cada número se obtiene sumando los dos anteriores. Así que la lista comienza:
$$1,1,2,3,5,8,13,21,\dots$$
La fórmula anterior es recursiva porque arroja números en términos de otros números anteriores de la misma lista. Por supuesto es importante conocer los primeros dos números para obtener los sucesivos. Pero ¿existe una fórmula directa de los Números de Fibonacci? Con "fórmula directa" me refiero a una fórmula que nos diga cuál es el número de la lista que está en el lugar \(n\), y que dependa sólo de \(n\). La respuesta es afirmativa, y a continuación deduciré esta fórmula directa utilizando sobretodo el concepo de diagonalización de una matriz cuadrada.

Lo primero es escribir la fórmula recursiva de otra manera, usando el producto de matrices:
$$
\begin{pmatrix}
x_{n+1} \\ x_{n+2}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\ 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_n \\ x_{n+1}
\end{pmatrix}
$$
Usando una notación más compacta:
$$V_{n+1}=AV_n $$
Esto es de nuevo una fórmula recursiva, con la ventaja de que puede obtenerse una fórmula más directa:
$$V_n=A^nV_0 $$
donde
$$V_0=
\begin{pmatrix}
0\\ 1
\end{pmatrix}
$$
Listo: esto nos daría una fórmula directa para el número \(x_n\) de la sucesión de Fibonacci. Pero hay un problema: necesitamos conocer la matriz \(A^n\). Para esto necesitamos también una fórmula directa. Y aquí es donde entra el concepto de diagonalización.

Se dice que una matriz cuadrada \(A\) es diagonalizable si existe una matriz invertible \(P\) tal que la matriz \(D=P^{-1}AP\) sea una matriz diagonal, es decir, una matriz que tiene todas sus entradas iguales a cero, excepto posiblemente en la diagonal principal. La teoría nos dice que de ser posible esto, las entradas de la diagonal son precisamente las raíces reales de su polinomio característico:
$$\det(xI-A)$$
Si estas raíces son distintas, siempre es posible llevar a cabo la diagonalización. Una vez que se tienen estos valores queda establecida la matriz diagonal \(D=PAP^{-1}\) y por tanto la matriz \(D^n\), que consta de las potencias \(n\)-ésimas de cada elemento de la diagonal de \(D\). Con esto puede obtenerse \(A^n\) como sigue:
$$A^n=(PDP^{-1})^n=PD^nP^{-1}$$
En nuestro caso, el polinomio característico de \( A=\big(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\big)\) es:
$$\det\begin{pmatrix} x & -1 \\ -1 & x-1 \end{pmatrix} =x(x-1)-1=x^2-x-1$$
cuyas raíces son los números:
$$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\text{ ,   } 1-\varphi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$
\(\varphi\) es el famoso número áureo o proporción áurea, que es la proporción entre los lados mayor y menor de un rectángulo áureo, aquel que tiene la propiedad de que al recortar un cuadrado queda otro rectángulo con la misma proporción entre sus lados:

En la figura, el rectángulo de lado mayor \(A+B\) y lado menor \(A\) es áureo, así como el rectángulo de lado mayor \(A\) y lado menor \(B\) si se cumple que:

$$\frac{A+B}{A}=\frac{A}{B}$$

En ese caso \(\varphi=\frac{A}{B}\) es el número áureo, que satisface por lo tanto que:

$$1+\frac{1}{\varphi}=\varphi$$

o lo que es lo mismo:

$$\varphi^2-\varphi-1=0$$

es decir, \(\varphi\) es la raíz positiva del polinomio

$$x^2-x-1=0$$

que es el polinomio característico de la matriz \(A\). La raíz negativa es precisamente \(1-\varphi\).

La teoría nos dice que podemos construir una matriz \(P\) invertible tal que \(P^{-1}AP\) es la matriz diagonal

$$D=\begin{pmatrix} \varphi & 0 \\ 0 & 1-\varphi \end{pmatrix}$$

El procedimiento consiste en encontrar vectores columna distintos de cero que sean cada uno solución respectivamente de los sistemas de ecuaciones:

$$\begin{pmatrix} -\varphi & 1 \\ 1 & 1-\varphi \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

y

$$\begin{pmatrix} \varphi-1 & 1 \\ 1 & \varphi \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Podemos considerar entonces como soluciones de estos respectivos sistemas a los vectores columna:

$$\begin{pmatrix} \varphi-1 \\ 1 \end{pmatrix} \text{  y  } \begin{pmatrix} -\varphi \\ 1 \end{pmatrix}$$

para construir la matriz

$$P=\begin{pmatrix} \varphi-1& -\varphi  \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

cuya matriz inversa es

$$P^{-1}=\frac{1}{2\varphi-1}\begin{pmatrix} 1& \varphi  \\ -1 & \varphi-1 \end{pmatrix}$$

es decir

$$PP^{-1}=P^{-1}P=\begin{pmatrix} 1& 0  \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

En efecto, puede corroborarse que

$$P^{-1}AP=\begin{pmatrix} \varphi & 0 \\ 0 & 1-\varphi \end{pmatrix}$$

Ahora obtengamos la enésima potencia de la matriz diagonal anterior:

$$D^n=\begin {pmatrix} \varphi^n & 0 \\ 0 & (1-\varphi)^n \end{pmatrix} $$

Por tanto, podemos obtener:

$$A^n = \frac{1}{2\varphi-1} \begin{pmatrix}\varphi-1& -\varphi  \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin {pmatrix} \varphi^n & 0 \\ 0 & (1-\varphi)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1& \varphi  \\ -1 & \varphi-1 \end{pmatrix}$$

es decir, haciendo las cuentas:

$$A^n = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} (\varphi-1)\varphi^n+\varphi(1-\varphi)^n & (\varphi-1)\varphi^{n+1}+\varphi(1-\varphi)^{n+1} \\ \varphi^n-(1-\varphi)^n & \varphi^{n+1}-(1-\varphi)^{n+1} \end{pmatrix}$$

Sustituyendo en la fórmula

$$V_n=A^nV_0 $$

y considerando \(x_{n+1}\) obtenemos:

$$ x_{n+1}=\frac{\varphi^{n+1}-(1-\varphi)^{n+1}}{\sqrt{5}}$$

o bien, ¡ la fórmula directa para el término  \(x_n\) de la sucesión de Fibonacci !:

$$ x_n=\frac{\varphi^n-(1-\varphi)^n}{\sqrt{5}}$$

Retorno al Modelismo

Después de años que se pierden en la estela de la vida, regreso a uno de mis actividades favoritas: el modelismo. No recuerdo con precisión cuántos aviones y coches a escala armé cuando era niño, pero sé que fueron sólo unos cuantos, que quizás no hayan llegado a la decena, y sé también que la marca de estos modelos era Revell-Lodela. Ahora me estoy enterando de que Revell es una fábrica originalmente estadunidense (aunque por lo que se encuentra uno en Google parezca alemana, pero viendo bien su logotipo lleva los colores consabidos de la bandera de EUA), que Lodela era la compañía distribuidora en México, cuyo nombre es abreviatura de López de Lara, apellidos de un hombre considerado fundador del modelismo en México, y que la compañía se echó a perder porque los herederos de López de Lara no tenían la capacidad para sostenerla.

Este es el modelo que estoy armando:

Y es que los Mustang siempre me gustaron. Tal vez sea esa suave caída del techo hacia la parte trasera; o tal vez sea el caballo que tiene como símbolo. El caso es que lo preferí al Ferrari.

Parece que según la terminología moderna soy un multitasking: me gusta hacer varias cosas al mismo tiempo, pero no sólo me gusta, sino que lo necesito, porque de esa manera una actividad motiva a las otras. Así que, habiendo destinado un escritorio para dejar las piezas y herramientas listas para trabajar, estoy yendo a ese nicho de mi vida cuando me lo permiten las circunstancias, pintando y pegando unas pocas piezas al día, o cada tercer día. No llevo prisa, y como cada cosa que hago, me gusta saborear la actividad.

He encontrado que este armado minucioso requiere mucha paciencia, pero también que, puesto en el canal de la ausencia total de prisa, proporciona una calma deliciosa. Me gusta ir a la minuciosidad extrema, como si estuviera hundiéndome en un fractal, aprovechando mi miopía, que me permite sin lentes ver muy de cerca con claridad los detalles diminutos. Llego al grado de pintar con un alfiler.

Bendita miopía.

El Teorema de Pitágoras: lo que afirma

Uno de los teoremas más famosos de las matemáticas es el Teorema de Pitágoras, cuya frase aprendemos de memoria en algún punto de la escuela:

La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa

O usando letras escribimos la fórmula:
$$ a^2+b^2=c^2 $$
De la frase a la fórmula simplemente hay una representació,n por medio de las letras \(a,b,c\), de ambos catetos y de la hipotenusa. Pero ¿qué diantres son los catetos y la hipotenusa, teniendo nombres tan extraños? Sin saber esto, la frase o la fórmula no tienen ningún sentido, más que como trabalenguas. Digámoslo entonces de una buena vez: los catetos y la hipotenusa son simplemente nombres para designar a los tres lados de un triángulo rectángulo. Todo el mundo sabe lo que es un triángulo: simplemente es una figura plana que tiene tres lados. ¿Y un triángulo rectángulo? Pues es un triángulo en el cual uno de sus tres ángulos es recto. ¿Y qué es un ángulo recto? Es uno de los cuatro ángulos que se forman al intersectarse dos rectas precisamente cuando los cuatro son iguales entre sí.

Triángulos rectángulos puede haber muchos, con tal de que uno de los ángulos sea recto, pero en todos los casos siempre hay un lado mayor que los otros dos, que es justo el que está enfrente del ángulo recto. Ese lado es al que se le da el nombre de hipotenusa. Los otros dos lados restantes son los que se llaman catetos. Con esto ya sabemos de qué cosas habla la frase y a qué cosas se aplica.

En este punto es bueno destacar una cualidad de este teorema, como de muchos otros: la universalidad de su afirmación. Universalidad hasta cierto punto: se aplica a todos los triángulos, con tal de que sean rectángulos. Esto significa que no importan las longitudes de la hipotenusa y de los catetos; el teorema será verdadero en cualquier caso.

Ahora pasemos a la afirmación de la frase: se trata de una propiedad muy peculiar. Se refiere a una igualdad en la que intervienen no tanto los lados del triángulo, sino los cuadrados de los lados. Hablando de números, el cuadrado de un número es el número multiplicado por sí mismo. Pero sucede que en esta situación los números que intervienen representan los lados de un triángulo, así que sus cuadrados representan... ¡sí! los cuadrados (como figuras) que posan sobre los lados.

Con la figura anterior, el Teorema de Pitágoras cobra un sentido geométrico: lo que afirma simplemente es que el área encerrada en el cuadrado que está sobre la hipotenusa equivale al área sumada de los cuadrados que están sobre los catetos. La zona morada equivale exactamente a la zona naranja. Y esto vale para TODOS los triángulos rectángulos.

Hasta aquí queda claro lo que dice el Teorema de Pitágoras, pero debemos convencernos de ello: se necesita una demostración. Eso se tratará en la siguiente entrega.

Encuentro en Cuatro Actos

I

Costa fue mi compañera en la escuela secundaria y como suele suceder con los enamoramientos, cuando me di cuenta yo ya estaba enterrado hasta el cuello. Me fascinaba toda ella. El tono rubio de su cabello contrastaba con sus cejas y ojos tan oscuros. Su risa era estruendosa, casi ofensiva. Yo le seguía los pasos, cada vez más descaradamente, hasta que un buen día que yo me sentía radiante, estando sentados ante las mesas de un laboratorio, con varios compañeros de por medio, le pregunté si quería ser mi novia. Me dijo que lo iba a pensar. Al final de la jornada escolar se me acercó, con compañeras de por medio, y me dijo que ya lo había pensado, y que sí. Esa tarde me la pasé hipnotizado.

La noticia se difundió inmediatamente entre los compañeros de nuestra clase y otras más. Y es que era inconcebible que yo, el niño aplicado y retraído, me le hubiera declarado a una muchacha, y más todavía, que ella me hubiera dado el sí. Al día siguiente sentí que todos me veían distinto, incluso que yo había ganado cierto estatus.

Durante el recreo nos vimos y cruzamos juntos una diagonal del patio sin tocarnos. Yo sólo me atreví a preguntarle que si la podía abrazar. Al final de la jornada escolar se me acercó, con compañeras de por medio, y me dijo que mejor como amigos. Esa tarde me recosté en la cama de mi cuarto, miré al techo y sentí cómo las lágrimas de ambos ojos resbalaban hasta mis orejas.

II

En la escuela preparatoria y al principio de la universidad Martín y yo solíamos ir al cine. Él pasaba por mí a cierta esquina cercana a mi casa en su VW, y luego íbamos a ver una película de Goddard o de Fellini. Un día me tuve que subir en la parte trasera porque el asiento del copiloto estaba ocupado... por Costa. En los altos Martín le acariciaba la cabeza. Para entonces yo ya me había desenamorado, pero me intrigaba la situación. Así duraron algún tiempo juntos.

III

Años más tarde fui a una reunión en casa de Martín, en la Condesa. Ahí había dos mujeres embarazadas. A ambas las conocía yo de antes. Una de ellas era una ayudante de profesor que me había parecido bastante floja, en la Facultad. La otra... era Costa. Hablaban del curso psicoprofiláctico al que asistían juntas. Reían, destacando por supuesto la risa estruendosa de Costa. Los padres de ambos bebés estaban ausentes.

IV

Pasó mucho tiempo cuando en Barcelona me encontré con mi insoportable amigo Toni, de la preparatoria. Hallé su número en el directorio y quedamos de vernos en la Plaza Cataluña. Nos dio mucho gusto reencontrarnos y recordarnos. Casi inmediatamente me dijo que me tenía una sorpresa. Caminamos por las intrincadas calles de la parte medieval de la ciudad hasta la zona de bares, y en una pequeña plaza había un lugar decorado con motivos mexicanos. Entramos y en el fondo había una mujer fumando y atendiendo. Su risa era estruendosa, casi ofensiva. Era Costa. Nos abrazamos e intercambiamos algunas palabras. En algún momento entró una muchacha rubia a decirle algo. Era su hija, que yo había visto dentro de su vientre muchos años atrás. Toni y yo le dijimos que regresaríamos más tarde, después de caminar otro rato por las calles de la Barceloneta. Pasaron horas de larga plática entre Toni y yo. Se hizo tarde y nos despedimos, quedando de vernos algún otro día. Pero a lo de Costa ya no regresamos. Jamás la he vuelto a ver.

Los Conejos de Fibonacci

Hace muchos años, casi 300 antes del Descubrimiento de América se escribió un libro titulado Liber Abaci (Libro del Ábaco). Su autor era un matemático italiano, de la ciudad de Pisa. Por eso se llamaba Leonardo de Pisa. Su padre era Guglielmo Bonacci, por lo que también era conocido simplemente como Fibonacci, y fue este nombre el que quedó impreso en la Historia de las Matemáticas.

En el escrito, Fibonacci planteaba el siguiente problema:

Una pareja de conejos recién nacidos necesita exactamente dos meses para madurar y procrear exactamente una sola pareja de conejos. Todas las parejas que nacen van teniendo esas características precisas. ¿Cuántas parejas de conejos se tienen en cada mes?

Comencemos por analizar esta situación con un pequeño cambio: las parejas de conejos están listas para procrear exactamente después de un mes, en vez de dos. En este caso, para saber cuántas parejas nacerán después de cada mes, basta considerar el número de parejas de conejos que se han acumulado hasta antes de ese momento. Por eso lo números obtenidos se van duplicando y se obtienen precisamente las potencias de \( 2 \):

\[ \begin{array}{ c c }
\text{Después del mes} & \text{Conejos nacidos ese momento} \\
\hline
0 & 1 \\
1 & 1 \\
2 & 2 \\
3 & 4 \\
4 & 8 \\
5 & 16 \\
\vdots & \vdots \\
\end{array} \]

De manera equivalente, cada número, a partir del mes \( 2 \), se obtiene duplicando el número anterior. Nótese que en el mes cero tomamos en cuenta sólo la pareja inicial. Regresemos al problema original: las parejas de conejos deben esperar exactamente dos meses antes de procrear. Eso significa que para calcular cuántas parejas nacerán después de cada mes, hay que considerar las parejas de conejos que se han acumulado hasta antes del mes anterior. De esta menera se obtienen los siguientes números:

\[ \begin{array}{ c c }
\text{Después del mes} & \text{Conejos nacidos ese momento} \\
\hline
0 & 1 \\
1 & 0 \\
2 & 1 \\
3 & 1 \\
4 & 2 \\
5 & 3 \\
\vdots & \vdots \\
\end{array} \]

De manera equivalente, cada número, a partir del mes \( 4 \), se obtiene sumando los dos anteriores. Esto se puede describir mejor con un lenguaje matemático:

\[ \begin{align}
x_1 &= 1 \\
x_2 &= 1 \\
x_n &= x_{n-1}+x_{n-2} \text{, si }n\geq 3
\end{align} \]

Esta descripción se llama recursiva y se caracteriza por calcular cada número en términos de los anteriores, en este caso, en términos de los dos anteriores.

A la sucesión de números obtenidos:
\[1,1,2,3,5,8,13,21,\dots \]
se le llama Sucesión de Fibonacci. Por supuesto que puede haber muchas sucesiones de este tipo, cuya descripción sea recursiva, pero esta tiene interés especial, como veremos en otras publicaciones.

La Proporción Áurea

A lo largo de la Historia del Arte se han utilizado rectángulos con una proporción tan especial entre sus lados que esta ha sido llamada la Proporción Áurea, Dorada o Divina, y un rectángulo con esa proporción ha sido llamado Rectángulo Áureo, Dorado o Divino.

Aquí algunos ejemplos muy famosos:

 



La Gioconda (Leonardo da Vinci)









Catedral de Notre Dame (Paris)

Las Meninas (Diego Velázquez)







 

Partenón (Grecia Antigua)

¿Pero esa proporción tan especial es una cuestión de apreciación estética? En absoluto. Se trata de una proporción que puede ser definida con precisión matemática de la siguiente manera. Dado cualquier rectángulo, podemos calcular la proporción entre su lado mayor y su lado menor. Esta proporción será siempre un número mayor que uno. (En el caso de un cuadrado, ambos lados son iguales y dicha proporción es igual a uno). Un Rectángulo Áureo se caracteriza por la siguiente propiedad: al recortarle un cuadrado queda otro rectángulo que tiene exactamente la misma proporción entre sus lados mayor y menor que el rectángulo original. En tal caso, el rectángulo que queda también es áureo:

En la figura, el rectángulo de lado mayor \(A+B\) y lado menor \(A\) es áureo, así como el rectángulo más pequeño, de lado mayor \(A\) y lado menor \(B\), y esto sucede porque:

$$\frac{A+B}{A}=\frac{A}{B}$$

En ese caso \(\varphi=\frac{A}{B}\) es el número que representa la Proporción Áurea (es tradicional utilizar la letra griega \(\varphi\) para denotarla). Considerando que \(\frac{A+B}{A}=1+\frac{B}{A}\) y que \(\frac{B}{A}=\frac{1}{\varphi}\) se tiene la siguiente igualdad:

$$1+\frac{1}{\varphi}=\varphi$$

que es equivalente (multiplicando ambos lados de la igualdad por \(\varphi\)) a:

$$\varphi^2-\varphi-1=0$$

Esto significa que el número \(\varphi\) es una de las dos soluciones de la ecuación de segundo grado:

$$x^2-x-1=0$$

Usando la famosa fórmula para resolver este tipo de ecuaciones (conocida en México como "La Chicharronera"), se tienen las dos soluciones (una positiva y la otra negativa):

$$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\text{ , } 1-\varphi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Así pues, la Proporción Divina está representada por el número irracional:

$$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

cuya aproximación con 30 cifras decimales es

$$1.618033988749894848204586834365\dots$$

Prueben a buscar rectángulos áureos por doquier. ¿Qué tal si comienzan por sus tarjetas de débito, de crédito o de teléfono?

 



Pócima para una Revolución Popular

En un país lleno de injusticia y opresión,
názcase un niño observador y con gusto por la gente
nacido en un ambiente pobre y carente.

Cultívese al niño con historias del pueblo
Añádase un gusto alegre por el beisbol y por sus héroes,
Transmútese este gusto, luego de un tiempo,
por el de la historia patria y por sus héroes.

Métase al niño, ya joven, al ejército.
Júntese con otros militares jóvenes patriotas.
Pónganse en su camino libros de Marx y Lenin.
Añádase una audacia de realismo mágico
que conduzca al joven, ya hombre, a un fracaso,
a cambio de darse a conocer a todo el mundo.

Comiéncese un proceso alquímico
de conexión entrañable con su pueblo.
Háganse las circunstancias justas
para que el hombre sea líder de su nación.
Désele campo total para desarrollar sus ideas
aunque estas vayan a contracorriente
con la falsa hipocresía del mundo.

Déjense pasar así 14 años.

Luego añádase una enfermedad incurable, inexorable, fatal,
que termine con su vida en pocos meses.
Désele una última victoria
producto del amor procesado con el pueblo.
Ocúltese del pueblo la degradación del cuerpo,
para que sea el alma la que quede clavada en la memoria.

Finalmente, júntense todas las lágrimas derramadas por el pueblo.
Llénese una gran vasija de barro con esas lágrimas.
Guárdese muy adentro de la tierra
y espérese el momento propicio para beber la pócima.

Jennifer Carpenter, una actriz extraordinaria que no necesita Oscar

Pasó la ceremonia de los Oscares. Artificial, repetitiva, hipócrita, como todos los años. A veces coincide una buena actuación o una buena película con un Oscar, pero generalmente no es así. Para la famosa Academia no se trata de valorar una obra de arte o una ejecución impecable, sino de fomentar el espectáculo y de imponer opiniones, aprovechando el lamentable poder que tienen los medios electrónicos sobre la gente. El remedio es quitar la atención de los Oscares y enfocarla hacia lo más profundo del cine como arte y de la actuación como acto sagrado.

Mirando esa fascinante serie de TV llamada Dexter, he encontrado una actriz extraordinaria: Jennifer Carpenter, que hace un papel protagónico en la misma, junto con otro gran actor, Michael C. Hall. Juntos hacen a los hermanos Morgan, quienes danzan entre sí a lo largo de todas las temporadas de la serie, a veces como protagonistas y otras como antagonistas. La escena que inserto a continuación ha sido, de lo que le he visto, el pico más alto de esta actuación. Se trata de un capítulo de la cuarta temporada, en el que Debra Morgan está destrozada por el asesinato de su amado y admirado agente. La escena transcurre en el lugar del crimen. Dexter la acompaña:

http://www.youtube.com/watch?v=J_Rgg4DGEOI

Todo lo que sale de la actriz es magma de la más absoluta pureza. Nos está mostrando algo vivo y misterioso a través de todo su cuerpo y su voz. El estado de Debra es al que llega un guerrero ante la muerte, Castaneda dixit; un estado de absoluta lucidez. Y desde ahí lo primero que le dice a su hermano es una llamada de atención sobre los errores que él está cometiendo en su nuevo matrimonio. Una frase de Dexter es el disparador de la erupción extraordinaria del volcán de Debra: "Sometimes I feel trapped (algunas veces me siento atrapado)". La reacción de Debra es desconcertante: se ríe en medio de su dolor. Se trata de un gesto de incredulidad ante lo que escucha de Dexter. Para ella es incomparable la situación de Dexter, arropado con una familia que lo quiere, con la de ella que acaba de perder en muy poco tiempo a dos parejas amorosas. Y entonces se desata la autocompasión: Debra se culpa de lastimar a los que están a su alrededor. Repite la frase "There's nothing I can do about it (no puedo hacer nada al respecto)". Es la conciencia de la Muerte, plena, cruda, desnuda, irreversible.

Y entonces surge en el cuerpo de la actriz un fenómeno extraordinario: un sollozo profundo, espontáneo, natural, incontrolable, que agita todo su aparato respiratorio, todo su ser. Ese sollozo convulsivo provoca una contracción dolorosa de sus músculos faciales, y le hace decir "I'm broken (estoy rota)", al tiempo que sus manos suben hasta su frente, como si fueran autónomas, acaso para suavizar o consolar la explosión que está sucediendo. Dexter trata de llevársela de ahí (del lugar y del estado), pero ella lo rechaza casi violentamente, para regresar a su afirmación contundente: debe quedarse en el lugar donde murió su amado, y no puede hacer nada al respecto. El desconsuelo es tan completo que finalmente se rinde para caer en los brazos de su hermano: el sollozo se rompe para dar paso al llanto franco y extenso.

Se trata de una sinfonía gestual, vocal y energética alimentada por la propia naturaleza de la actriz y dirigida por su técnica sutil y depurada.

El Salto de un Aleph

Comencemos por considerar la lista infinita de todas las potencias de dos:
$$2, 4, 8, 16, \dots$$
o bien:
$$2^1, 2^2, 2^3, 2^4, \dots$$
Por supuesto que estos números crecen indefinidamente, por lo que podemos considerar correcta la siguiente escritura:
$$\lim_{n\to\infty} 2^n=\infty$$
Pero si somos más meticulosos podemos preguntarnos ¿qué tipo de infinito representa el símbolo \(\infty\) ? O en otras palabras ¿podemos establecer con mayor exactitud el resultado de este límite?

Para esto hay que saber que, así como los números naturales \(0,1,2,\dots\) o cardinales finitos, con los que contamos conjuntos finitos, existen también los cardinales transfinitos, con los que podemos contar exactamente cuántos elementos tiene un conjunto infinito (y asignarle un número o cardinal transfinito), También podemos comparar dos cardinales transfinitos, es decir, saber si un conjunto tiene tantos elementos como otro, o no.

Georg Cantor

Por ejemplo, el conjunto de los números naturales, denotado por \(\mathbb{N}\), es un conjunto infinito, y el cardinal transfinito que se le asigna es \(\aleph_0\). Se trata del primer cardinal transfinito. La letra hebrea aleph fue elegida por el matemático ruso Georg Cantor para denotar cardinales transfinitos en el último cuarto del siglo XIX. Varias décadas más tarde, Jorge Luis Borges escribiría su famoso cuento El Aleph, sobre una visión del infinito. ¿Pero entonces existen cardinales transfinitos mayores que \(\aleph_0\)? La respuesta es afirmativa. Es más, existe una infinidad de cardinales transfinitos. Es más, a la lista completa de todos los cardinales transfinitos no se le puede contar con ningún cardinal transfinito. De acuerdo: esto es una verdadera locura.

Por ahora consideremos un cardinal transfinito estrictamente mayor que \(\aleph_0\). Se trata del cardinal que cuenta a todos los subconjuntos de \(\mathbb{N}\). En general, dado un conjunto \(A\), el conjunto que consta de todos los subconjuntos de \(A\) se llama el conjunto potencia de \(A\), y se denota como \(\wp (A)\). Se puede demostrar matemáticamente que si \(A\) tiene \(n\) elementos entonces \(\wp (A)\) tiene \(2^n\) elementos. La demostración consiste en poner todos los subconjuntos de \(A\) en correspondencia uno-a-uno (también llamada biunívoca) con todas las hileras de \(n\) "bits", cada uno de los cuales puede ser cero o uno. A continuación se establece, a manera de ejemplo, la correspondencia uno-a-uno entre los subconjuntos del conjunto \(A=\{a,b,c\}\) y las ternas de ceros o unos:
\[ \begin{matrix}
\phi & \longleftrightarrow & (0,0,0) \\
\{ a\} & \longleftrightarrow & (1,0,0) \\
\{ b\} & \longleftrightarrow & (0,1,0) \\
\{ c\} & \longleftrightarrow & (0,0,1) \\
\{ a,b\} & \longleftrightarrow & (1,1,0) \\
\{ a,c\} & \longleftrightarrow & (1,0,1) \\
\{ b,c\} & \longleftrightarrow & (0,1,1) \\
\{ a,b,c\} & \longleftrightarrow & (1,1,1) \\
\end{matrix} \]
Así pues, la correspondencia se establece traduciendo el hecho de que un elemento pertenece o no a un subconjunto a poner un uno o un cero en el lugar correspondiente de la terna. Contar todos los subconjuntos de \(A\) equivale a contar todas las \(n\)-hileras de ceros o unos, que son precisamente \(2^n\). Esto vale también para un conjunto infinito como \(\mathbb{N}\), que tiene cardinalidad \(\aleph_0\): su conjunto potencia  \(\wp (\mathbb{N})\) tiene cardinalidad \(2^{\aleph_0}\), puesto que también se puede establecer una correspondencia uno-a-uno entre todos los subconjuntos de \(\aleph_0\) y todas las sucesiones infinitas de ceros o unos.

Cantor demostró un notable hecho matemático que se conoce como Teorema de Cantor:

Para cualquier conjunto \(A\), su conjunto potencia \(\wp (A)\) tiene cardinalidad estrictamente mayor.

Esto es obvio para conjuntos finitos: para cualquier número \(n\) sucede que \(n<2^n\). Pero la demostración de Cantor (de la cual nos podemos ocupar en otra ocasión) es válida para cualquier conjunto. Así que también vale para el conjunto \(\mathbb{N}\), y podemos concluir lo siguiente:

$$\aleph_0<2^{\aleph_0}$$

El Teorema de Cantor se puede aplicar a su vez a \(\wp (\mathbb{N})\), a  \(\wp(\wp (\mathbb{N}))\), etc., para obtener una sucesión infinita de cardinales transfinitos:

$$\aleph_0<2^{\aleph_0}<2^{2^{\aleph_0}}<\cdots$$

Ahora regresemos a nuestra pregunta inicial: ¿cuál es el valor de \(\lim_{n\to\infty} 2^n\)? Tenemos que precisarla: ¿qué sucede con las potencias \(2^n\) cuando los cardinales \(n\) crecen indefinidamente, es decir, se acercan al cardinal \(\aleph_0\)? Con lo dicho anteriormente, la respuesta puede parecer sencilla:

$$\lim_{n\to\aleph_0} 2^n=2^{\aleph_0}$$

Pero esta respuesta es sorprendente: los números finitos \(2, 4, 8, 16, \dots\) "llegan" al cardinal \(2^{\aleph_0}\) saltándose el cardinal \(\aleph_0.\)

El salto de un aleph.

No cabe duda: el enfoque que le dio Cantor a la Teoría de Conjuntos ha aportado a las matemáticas muchas grandes sorpresas.

Hay algo extraño y misterioso, como sus relatos, que enlaza a estos dos legendarios escritores. Basta mirarlos:

Robert Louis Stevenson

Howard Philips Lovecraft

El Meteorito

Era el momento. Había que hacer un reconocimiento mucho más cercano de la humanidad de aquel mundo. No se había hecho tal acercamiento durante muchos ciclos galácticos, porque había que dejar que la Ley fluyera naturalmente, incluyendo las características mutantes de aquella humanidad que había surgido brusca e inexplicablemente en el tercer planeta. Pero las cosas habían llegado a un extremo y por ello se había tomado la gran decisión, con el riesgo de interferir la Ley. Todos sabían lo que eso podía significar. Incluso los humanos del tercer planeta lo habían descrito bien con aquella idea de la mariposa cuyo aleteo podía causar a la larga un huracán en un lugar lejano.

La decisión no había sido fácil. Habían tenido que hacer contacto con otros mundos todavía más avanzados para consultarlos. La conciencia de la situación había sido difundida, y después de algunos ciclos decidida, por toda la galaxia. La Vía Láctea entera se había hecho responsable de lo que estaba por suceder, así que también estaba a la expectativa.

Había los medios precisos para ejecutar la acción. La nave de reconocimiento tendría la forma de uno de los asteroides del cinturón formado entre el cuarto y quinto planetas. Aparecería a los ojos de los astrónomos humanos justo un ciclo orbital antes del máximo acercamiento, con el objeto de hacerlo familiar y reducir el pánico general. Durante el máximo acercamiento la nave captaría la holosfera del planeta para poder analizarla. Casi al mismo tiempo, otro dispositivo sería arrojado al planeta a una zona despoblada. Este tendría la forma de un meteorito de tamaño menor, que al hacer contacto físico con la superficie proporcionaría otro tipo de datos sobre la manera como la humanidad se había relacionado con la naturaleza.

Además de los datos que generarían ambas naves estaba el suceso psicológico. La galaxia no tenía duda que la humanidad se pondría en un estado de alerta máxima. Se provocaría un cambio sustancial en la conciencia global. Sería un golpe quirúrgico al cuerpo psíquico de la humanidad para comenzar el despertar que tanto tiempo se había pospuesto.

Y sucedió. La nave en forma de asteroide se acercó exactamente como lo habían predicho los astrónomos humanos un año antes, provocando alerta, pero no pánico. El dispositivo en forma de meteorito cayó en un lugar despoblado, pasando cerca de una ciudad desde la que se difundieron imágenes a todo el planeta. Los datos comenzaron a fluir hacia el centro de la galaxia, donde fueron analizados.

Pero aquel memorable día en la vida del tercer planeta pasó como una anécdota más, y la humanidad mantuvo su estado psíquico. Siguió durmiendo. Había que hacer algo más para despertarla.

Locuras de actores y actrices II.

Suzan hace una danza sagrada con el Diablo adentro.

Analicemos ahora el caso de una actriz haciendo el personaje de una poseída, que actoralmente es equivalente al de una loca. Se trata de Suzan Crowley haciendo el papel de Maria Rossi en la película Con el Diablo Adentro (Devil Inside, 2012). El trabajo de esta actriz se ha restringido casi totalmente a series de TV, y es tan poco conocida que ni siquiera tiene un lugar en Wikipedia. Sin embargo su actuación en esta película es impresionante y terrorífica. Baste ver esta escena:

Maria Rossi se encuentra recluída en un manicomio y su hija Isabel va a visitarla después de muchos años transcurridos. Al principio, con la mirada perdida, Maria parece no reconocerla, mientras comienza a pronunciar repetitivamente una frase: "connect the cuts". Entonces le muestra las marcas de los cortes en los brazos y en la boca que ella misma se ha hecho. Después se acerca a Isabel (de hecho primero la llama con la mano) y le hace una advertencia sobre lo malo que ha sido abortar un hijo (lo cual es imposible que ella lo supiera, y esto le añade a la escena un elemento paranormal). Por último Maria pega un grito escalofriante en la cara de su hija para de inmediato contorsionarse. Estas cuatro acciones simples y definidas, en un lapso de menos de un minuto forman una sucesión de pasos contundentes desde la pasividad casi vegetal hasta arrojarse en un abismo ¿el suyo propio? ¿el de su hija? Y en cada una de estas fases podemos ver un personaje vivo, en acecho, hasta peligroso. Las fases no están aisladas: el paso de una a otra es natural; hay un hilo de Ariadna que guía a la actriz en su laberinto, hasta su encuentro con el Minotauro. El cuerpo de la actriz es como una vasija llena, rebosante de energía, de vida, de misterio. Todo en ella habla, sobretodo los ojos. Las dos fases intermedias, en las que Maria se dirige a su hija, están llenas de intención abrumadora.

Este ejemplo sencillo nos da la pauta para observar la manera de actuar de una mujer. La técnica consiste en abrir y cerrar, con la precisión y forma adecuadas, la compuerta del magma psicoemocional que subyace naturalmente en una mujer. Para eso la actriz ha entrenado sus cuerpos físico y emocional. De no ser así, la vasija no podría soportar la energía contenida, y esta se derramaría o se rompería. Los músculos deben ser lo suficientemente fuertes para aguantar la contorsión.

También este ejemplo nos habla de cómo la Gran Farsa ubica a la actuación verdadera. Siendo una actriz poco conocida, Suzan Crowley ha mostrado oficio y misterio. Es capaz de crear la danza congruente de su personaje. No podemos entonces dejar de comparar este resultado con el de Jack Nicholson, que comentamos en la primera parte de esta entrega. Así que los Oscares no premian la maestría en la actuación, sino la afiliación con Hollywood. Y los rubros a Mejor Actor y Mejor Actriz no toman en cuenta estas notables diferencias entre los actores y las actrices, tan distintas como los cromosomas femenino y masculino, o como el Yin y el Yang.

Locuras de actores y actrices I.

¿Jack el resplandeciente?

La locura de un personaje es un pretexto interesante para llevar a cabo la tarea actoral. Esto vale para el actor/actriz como para el espectador. Tal vez resulte más clara la diferencia entre el universo actoral de actores y actrices en este caso específico, por el hecho de que un loco se destaca en exceso; digamos que tiene sabor fuerte. El actor diseña su máquina. El resultado debe ser un universo de movimientos, miradas, gestos, voces, reacciones, que sea congruente y que funcione en la situación específica de la obra o la película. La actriz se asoma y se arroja a un abismo, o equivalentemente, vomita su magma interno. También aquí debe haber congruencia. En ambos casos, es esta congruencia la que permite al espectador integrar el trabajo del actor/actriz con la situación para tener entonces esa sensación de éxtasis a la que nos lleva el arte.

Quiero analizar dos ejemplos específicos, un actor y una actriz haciendo el personaje de un loco. Aquí trataré el primer caso: se trata de Jack Nicholson haciendo a Jack Torrance en El Resplandor (The Shining, 1980), la famosa y sobrevalorada película de terror de Stanley Kubrick, basada en la buena novela de Stephen King. Veamos esta escena en la que el personaje de Jack Nicholson desata su ira ante su esposa Wendy, quien trata de defenderse débilmente con un bat (omitan el título del video en Youtube, que dista mucho de esta opinión mía):

Justo al principio del video hay en Nicholson gestos auténticos, honestos, espontáneos, que alteran la máscara que se ha adueñado del actor a través de los años, cuando arremeda a su esposa, provocado ciertamente por la histeria chocante de Wendy. Algo misterioso pareciera hacer funcionar su máquina en otro nivel. Pero luego el actor cae en el nivel usual, conocido, cómodo, seguro, donde sabe que la máquina fluirá sin riesgos, desplegando aquello por lo que Nicholson es reconocido, aclamado y premiado. Se trata de un monólogo de un personaje iracundo, neurótico, un tanto fuera de sí, pero incongruente con la locura de Jack Torrance. Uno puede mirar los detalles de esta máquina: por supuesto la sonrisa sarcástica sin labios y con muchos dientes apretados, las manos acentuando las palabras, los ojos fijos, arqueando las cejas en ciertos momentos, girando la cabeza en otros. Hay oficio, pero no misterio.

La neurosis desplegada en la escena anterior no tiene que ver con esa mirada fija, desconcertante, probablemente indicada por Kubrick, en la que nuevamente vemos derrotada a la máscara de Nicholson, y a través de ella contemplamos nosotros mismos el Misterio:

La locura también tiene una evolución, una congruencia, y el actor debe poder cazarla, encontrarla, integrarla, incorporarla. Jack Nicholson no es capaz de ello, aunque pareciera que en momentos, todavía en aquella ya lejana época, su máquina le pide a gritos ser liberada de la máscara que finalmente lo conquistó. Tampoco Stanley Kubrick es capaz de darle a Nicholson un hilo de Ariadna, un terreno fértil, teniendo como base la gran novela de King.

La gran actuación de Jack Nicholson y la gran dirección de Stanley Kubrick en El Resplandor son más bien grandes mentiras de Hollywood, que muchos nos hemos tragado.

El universo actoral de actores y actrices.

Hay una diferencia notable entre las actuaciones de actores y actrices en general, y de la cual jamás he oído hablar. Hollywood la reduce, como suele hacer la Gran Farsa con todo lo humano, a migajas: la distinción entre los rubros para los Oscares: mejor actor, mejor actriz. Pero se trata de una cuestión muchísimo más profunda. Corresponde a algunos atributos que el taoísmo le suele dar a lo masculino y a lo femenino. El hombre suele construir máquinas, para lo cual diseña por medio de imágenes, recopila piezas y engranes, los une y embona para formar una estructura que funcione, y luego echa a andar la máquina. Él es el Cielo Luminoso. La mujer suele contemplar la Naturaleza, se asoma a su propio abismo, porque ella es la Tierra Oscura, para lo cual necesita valor, todavía mucho más si se decide a arrojarse. Se trata de dos historias distintas, casi contrarias, casi complementarias.

Un verdadero actor, una verdadera actriz, tendrían que realizar estos actos de manera impecable y poética. Un actor tendría que tener la disciplina para recopilar todos los engranes necesarios, de diverso tipo, para construir su máquina. En esa fase simplemente debe fluir sobre su propia naturaleza. El momento más difícil es echarla a andar, porque ahí se necesita un chispazo misterioso, y después también mantenerla en funcionamiento requiere una energía sostenida, la cual también proviene del Misterio. Esa energía es la vida misma del personaje, y está llena de magia. Para lograr esto, el actor se convierte un poco en mujer.

Por otro lado, una actriz tendría que entrenarse como una guerrera que afrontará una batalla crucial, en el momento en que se vea cara a cara con su propio minotauro. La gran cantidad de magma que tiene a la mano debe poder canalizarse, transformarse, concretarse en cosas que tengan un objetivo. Entonces la actriz se convierte un poco en hombre. Entonces la feroz batalla se convierte en una danza sagrada. Y también está llena de magia.

El espectador mira a un verdadero actor, y entonces se deleita contemplando una máquina perfecta capaz de transportarse a situaciones infinitas y funcionar en ellas, siempre desplegando la magia. El espectador mira a una verdadera actriz, y entonces se deleita contemplando una danza sagrada, envuelta en magia. Y en ambos casos comprende algo de lo Humano, de lo Natural y de lo Divino.

Pero todo esto ocurre casi nunca.

Babel es el caos. Caos es confusión. Muchos elementos, innumerables, infinitos, pero sin estructura. No hay logros, a pesar del continuo movimiento. No hay cosecha porque es imposible sembrar, pues para eso tendríamos que tener una estructura. No vemos más que ilusiones individuales, aisladas. Reina la oscuridad que todo lo envuelve. Sólo una Ley que está más allá de nuestro entendimiento nos permite tener un punto de luz en algún lugar que desconocemos. En ese punto de luz está la semilla de la que nacerá lo nuevo. La Luz de Babel.