El Salto de un Aleph

Comencemos por considerar la lista infinita de todas las potencias de dos:
$$2, 4, 8, 16, \dots$$
o bien:
$$2^1, 2^2, 2^3, 2^4, \dots$$
Por supuesto que estos números crecen indefinidamente, por lo que podemos considerar correcta la siguiente escritura:
$$\lim_{n\to\infty} 2^n=\infty$$
Pero si somos más meticulosos podemos preguntarnos ¿qué tipo de infinito representa el símbolo \(\infty\) ? O en otras palabras ¿podemos establecer con mayor exactitud el resultado de este límite?

Para esto hay que saber que, así como los números naturales \(0,1,2,\dots\) o cardinales finitos, con los que contamos conjuntos finitos, existen también los cardinales transfinitos, con los que podemos contar exactamente cuántos elementos tiene un conjunto infinito (y asignarle un número o cardinal transfinito), También podemos comparar dos cardinales transfinitos, es decir, saber si un conjunto tiene tantos elementos como otro, o no.

Georg Cantor

Por ejemplo, el conjunto de los números naturales, denotado por \(\mathbb{N}\), es un conjunto infinito, y el cardinal transfinito que se le asigna es \(\aleph_0\). Se trata del primer cardinal transfinito. La letra hebrea aleph fue elegida por el matemático ruso Georg Cantor para denotar cardinales transfinitos en el último cuarto del siglo XIX. Varias décadas más tarde, Jorge Luis Borges escribiría su famoso cuento El Aleph, sobre una visión del infinito. ¿Pero entonces existen cardinales transfinitos mayores que \(\aleph_0\)? La respuesta es afirmativa. Es más, existe una infinidad de cardinales transfinitos. Es más, a la lista completa de todos los cardinales transfinitos no se le puede contar con ningún cardinal transfinito. De acuerdo: esto es una verdadera locura.

Por ahora consideremos un cardinal transfinito estrictamente mayor que \(\aleph_0\). Se trata del cardinal que cuenta a todos los subconjuntos de \(\mathbb{N}\). En general, dado un conjunto \(A\), el conjunto que consta de todos los subconjuntos de \(A\) se llama el conjunto potencia de \(A\), y se denota como \(\wp (A)\). Se puede demostrar matemáticamente que si \(A\) tiene \(n\) elementos entonces \(\wp (A)\) tiene \(2^n\) elementos. La demostración consiste en poner todos los subconjuntos de \(A\) en correspondencia uno-a-uno (también llamada biunívoca) con todas las hileras de \(n\) "bits", cada uno de los cuales puede ser cero o uno. A continuación se establece, a manera de ejemplo, la correspondencia uno-a-uno entre los subconjuntos del conjunto \(A=\{a,b,c\}\) y las ternas de ceros o unos:
\[ \begin{matrix}
\phi & \longleftrightarrow & (0,0,0) \\
\{ a\} & \longleftrightarrow & (1,0,0) \\
\{ b\} & \longleftrightarrow & (0,1,0) \\
\{ c\} & \longleftrightarrow & (0,0,1) \\
\{ a,b\} & \longleftrightarrow & (1,1,0) \\
\{ a,c\} & \longleftrightarrow & (1,0,1) \\
\{ b,c\} & \longleftrightarrow & (0,1,1) \\
\{ a,b,c\} & \longleftrightarrow & (1,1,1) \\
\end{matrix} \]
Así pues, la correspondencia se establece traduciendo el hecho de que un elemento pertenece o no a un subconjunto a poner un uno o un cero en el lugar correspondiente de la terna. Contar todos los subconjuntos de \(A\) equivale a contar todas las \(n\)-hileras de ceros o unos, que son precisamente \(2^n\). Esto vale también para un conjunto infinito como \(\mathbb{N}\), que tiene cardinalidad \(\aleph_0\): su conjunto potencia  \(\wp (\mathbb{N})\) tiene cardinalidad \(2^{\aleph_0}\), puesto que también se puede establecer una correspondencia uno-a-uno entre todos los subconjuntos de \(\aleph_0\) y todas las sucesiones infinitas de ceros o unos.

Cantor demostró un notable hecho matemático que se conoce como Teorema de Cantor:

Para cualquier conjunto \(A\), su conjunto potencia \(\wp (A)\) tiene cardinalidad estrictamente mayor.

Esto es obvio para conjuntos finitos: para cualquier número \(n\) sucede que \(n<2^n\). Pero la demostración de Cantor (de la cual nos podemos ocupar en otra ocasión) es válida para cualquier conjunto. Así que también vale para el conjunto \(\mathbb{N}\), y podemos concluir lo siguiente:

$$\aleph_0<2^{\aleph_0}$$

El Teorema de Cantor se puede aplicar a su vez a \(\wp (\mathbb{N})\), a  \(\wp(\wp (\mathbb{N}))\), etc., para obtener una sucesión infinita de cardinales transfinitos:

$$\aleph_0<2^{\aleph_0}<2^{2^{\aleph_0}}<\cdots$$

Ahora regresemos a nuestra pregunta inicial: ¿cuál es el valor de \(\lim_{n\to\infty} 2^n\)? Tenemos que precisarla: ¿qué sucede con las potencias \(2^n\) cuando los cardinales \(n\) crecen indefinidamente, es decir, se acercan al cardinal \(\aleph_0\)? Con lo dicho anteriormente, la respuesta puede parecer sencilla:

$$\lim_{n\to\aleph_0} 2^n=2^{\aleph_0}$$

Pero esta respuesta es sorprendente: los números finitos \(2, 4, 8, 16, \dots\) "llegan" al cardinal \(2^{\aleph_0}\) saltándose el cardinal \(\aleph_0.\)

El salto de un aleph.

No cabe duda: el enfoque que le dio Cantor a la Teoría de Conjuntos ha aportado a las matemáticas muchas grandes sorpresas.