La Proporción Áurea

A lo largo de la Historia del Arte se han utilizado rectángulos con una proporción tan especial entre sus lados que esta ha sido llamada la Proporción Áurea, Dorada o Divina, y un rectángulo con esa proporción ha sido llamado Rectángulo Áureo, Dorado o Divino.

Aquí algunos ejemplos muy famosos:

 



La Gioconda (Leonardo da Vinci)









Catedral de Notre Dame (Paris)

Las Meninas (Diego Velázquez)







 

Partenón (Grecia Antigua)

¿Pero esa proporción tan especial es una cuestión de apreciación estética? En absoluto. Se trata de una proporción que puede ser definida con precisión matemática de la siguiente manera. Dado cualquier rectángulo, podemos calcular la proporción entre su lado mayor y su lado menor. Esta proporción será siempre un número mayor que uno. (En el caso de un cuadrado, ambos lados son iguales y dicha proporción es igual a uno). Un Rectángulo Áureo se caracteriza por la siguiente propiedad: al recortarle un cuadrado queda otro rectángulo que tiene exactamente la misma proporción entre sus lados mayor y menor que el rectángulo original. En tal caso, el rectángulo que queda también es áureo:

En la figura, el rectángulo de lado mayor \(A+B\) y lado menor \(A\) es áureo, así como el rectángulo más pequeño, de lado mayor \(A\) y lado menor \(B\), y esto sucede porque:

$$\frac{A+B}{A}=\frac{A}{B}$$

En ese caso \(\varphi=\frac{A}{B}\) es el número que representa la Proporción Áurea (es tradicional utilizar la letra griega \(\varphi\) para denotarla). Considerando que \(\frac{A+B}{A}=1+\frac{B}{A}\) y que \(\frac{B}{A}=\frac{1}{\varphi}\) se tiene la siguiente igualdad:

$$1+\frac{1}{\varphi}=\varphi$$

que es equivalente (multiplicando ambos lados de la igualdad por \(\varphi\)) a:

$$\varphi^2-\varphi-1=0$$

Esto significa que el número \(\varphi\) es una de las dos soluciones de la ecuación de segundo grado:

$$x^2-x-1=0$$

Usando la famosa fórmula para resolver este tipo de ecuaciones (conocida en México como "La Chicharronera"), se tienen las dos soluciones (una positiva y la otra negativa):

$$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\text{ , } 1-\varphi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Así pues, la Proporción Divina está representada por el número irracional:

$$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

cuya aproximación con 30 cifras decimales es

$$1.618033988749894848204586834365\dots$$

Prueben a buscar rectángulos áureos por doquier. ¿Qué tal si comienzan por sus tarjetas de débito, de crédito o de teléfono?