Comencemos por considerar la lista infinita de todas las potencias de dos:
2,4,8,16,…
o bien:
21,22,23,24,…
Por supuesto que estos números crecen indefinidamente, por lo que podemos considerar correcta la siguiente escritura:
limn→∞2n=∞
Pero si somos más meticulosos podemos preguntarnos ¿qué tipo de infinito representa el símbolo ∞ ? O en otras palabras ¿podemos establecer con mayor exactitud el resultado de este límite?
Para esto hay que saber que, así como los números naturales 0,1,2,… o cardinales finitos, con los que contamos conjuntos finitos, existen también los cardinales transfinitos, con los que podemos contar exactamente cuántos elementos tiene un conjunto infinito (y asignarle un número o cardinal transfinito), También podemos comparar dos cardinales transfinitos, es decir, saber si un conjunto tiene tantos elementos como otro, o no.
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Georg Cantor |
Por ahora consideremos un cardinal transfinito estrictamente mayor que ℵ0. Se trata del cardinal que cuenta a todos los subconjuntos de N. En general, dado un conjunto A, el conjunto que consta de todos los subconjuntos de A se llama el conjunto potencia de A, y se denota como ℘(A). Se puede demostrar matemáticamente que si A tiene n elementos entonces ℘(A) tiene 2n elementos. La demostración consiste en poner todos los subconjuntos de A en correspondencia uno-a-uno (también llamada biunívoca) con todas las hileras de n "bits", cada uno de los cuales puede ser cero o uno. A continuación se establece, a manera de ejemplo, la correspondencia uno-a-uno entre los subconjuntos del conjunto A={a,b,c} y las ternas de ceros o unos:
ϕ⟷(0,0,0){a}⟷(1,0,0){b}⟷(0,1,0){c}⟷(0,0,1){a,b}⟷(1,1,0){a,c}⟷(1,0,1){b,c}⟷(0,1,1){a,b,c}⟷(1,1,1)
Así pues, la correspondencia se establece traduciendo el hecho de que un elemento pertenece o no a un subconjunto a poner un uno o un cero en el lugar correspondiente de la terna. Contar todos los subconjuntos de A equivale a contar todas las n-hileras de ceros o unos, que son precisamente 2n. Esto vale también para un conjunto infinito como N, que tiene cardinalidad ℵ0: su conjunto potencia ℘(N) tiene cardinalidad 2ℵ0, puesto que también se puede establecer una correspondencia uno-a-uno entre todos los subconjuntos de ℵ0 y todas las sucesiones infinitas de ceros o unos.
Cantor demostró un notable hecho matemático que se conoce como Teorema de Cantor:
Para cualquier conjunto A, su conjunto potencia ℘(A) tiene cardinalidad estrictamente mayor.
Esto es obvio para conjuntos finitos: para cualquier número n sucede que n<2n. Pero la demostración de Cantor (de la cual nos podemos ocupar en otra ocasión) es válida para cualquier conjunto. Así que también vale para el conjunto N, y podemos concluir lo siguiente:
ℵ0<2ℵ0
El Teorema de Cantor se puede aplicar a su vez a ℘(N), a ℘(℘(N)), etc., para obtener una sucesión infinita de cardinales transfinitos:
ℵ0<2ℵ0<22ℵ0<⋯
Ahora regresemos a nuestra pregunta inicial: ¿cuál es el valor de limn→∞2n? Tenemos que precisarla: ¿qué sucede con las potencias 2n cuando los cardinales n crecen indefinidamente, es decir, se acercan al cardinal ℵ0? Con lo dicho anteriormente, la respuesta puede parecer sencilla:
limn→ℵ02n=2ℵ0
Pero esta respuesta es sorprendente: los números finitos 2,4,8,16,… "llegan" al cardinal 2ℵ0 saltándose el cardinal ℵ0.
El salto de un aleph.
El salto de un aleph.
No cabe duda: el enfoque que le dio Cantor a la Teoría de Conjuntos ha aportado a las matemáticas muchas grandes sorpresas.