Carta a Andrés Manuel López Obrador

Querido y admirado Presidente:

Siempre queda corto cualquier saludo de una carta que se escribe a una persona cercana, entrañable, como un padre, un hermano, un buen amigo, un maestro, alguien que ha estado presente en la vida de uno desde hace años, décadas, toda una vida, o buena parte de esta. Este es el caso. Tú has sido esa parte importante de mi vida desde hace casi un cuarto de siglo. Has sido una guía, una inspiración, un símbolo, un patriota, un líder, un maestro, un titán. De nuevo todas estas palabras parecen cursis o huecas para quien las leyera desde fuera, sin haber vivido nuestra historia, la de millones de mexicanos que hemos estado a tu lado desde el año del Desafuero y que no dudamos en seguir gritando ¡Es un honor estar con Obrador!

Nuestra historia está llena de anécdotas, obstáculos, derrotas, triunfos, momentos oscuros e instantes sublimes. Como aquella vez en el Plantón, sobre la calle de Madero, cuando puse una frase en un gran pedazo de papel Kraft en el que la gente plasmaba sus propios pensamientos. "Estamos en la cresta de la Historia" escribí. Tiempo más tarde, al leer el libro de Elena Poniatowska "Amanecer en el Zócalo" descubrí mi frase en una página: ella la había registrado al describir ese mismo sitio. O el periódico mural que organizamos varios colegas del departamento en la universidad donde soy profesor, en el que poníamos la información importante sobre el Movimiento, con fotos, explicaciones y los datos de medios alternativos, tan marginales en aquel momento, y cuando había una gran concentración, la palabra ¡ZÓCALO! con grandes letras que cruzaban en diagonal todo el periódico. O las propias mantas que mandaba a hacer con un maestro rotulista que me miraba siempre con complicidad, y luego yo las colocaba en la azotea de mi casa para difundir la información sobre alguna de las muchas manifestaciones.

O las tres o cuatro veces que te extendí la mano para saludarte y me la estrechabas, y en algunas de esas ocasiones parecías reconocerme de las veces anteriores. Una vez incluso platicamos unos minutos cuando fui invitado como parte del público en una entrevista que te hicieron en la W. Eran los tiempos difíciles, en los que teníamos apenas un hilito de esperanza,  y me dijiste que había qué seguir y organizarnos en comités. O aquella manifestación junto a la torre de Pemex, a la que fui con una bandera que confeccionó mi suegra y en la que mandé bordar el escudo del águila juarista. La misma que aparecía en los billetes de veinte pesos y que el gobierno de Calderón quitó. Entonces cada vez que me daban un billete de esos yo no los aceptaba porque no llevaba el símbolo de nuestro movimiento.

No puedo menos de darle gracias a la vida que me ha dado la oportunidad de ser contemporáneo de un personaje histórico del nivel de Hidalgo, Juárez, Madero, Cárdenas, Y todavía más que eso, como tú mismo lo dices, la oportunidad de haber sido parte de un gran movimiento social, triunfante y transformador, que va incluso más allá de las anteriores tres transformaciones, porque este es un proceso gradual, pacífico, colectivo, sólido, que parece irreversible.

Gracias Presidente, por ese empujón que diste, por esa huella que imprimiste, por ese despertar que lideraste para nuestra gran nación y su portentosa Historia..

Hasta siempre Andrés Manuel.

Rogelio.

El Salto de las Auroras

Fue después del Día de las Madres, el 10 de mayo. La noche en que se vieron auroras boreales en lugares inéditos de México y del mundo. En Hermosillo, Mexicali, Cancún, en Cuba, en el sur de España. Y era el año 2024. El día anterior estábamos en diciembre de 2015.

Desperté en la madrugada con todo el cuerpo profundamente adolorido, como si hubiera corrido un maratón el día anterior. Me levanté con mucho esfuerzo y entré al baño: era otro, con azulejos y piso inusuales y todos los muebles cambiados. Ahí me miré al espejo y mi cara era extraña: estaba muy demacrado, con ojeras, y me pareció que con más canas en cabello y barba, y más arrugas en la cara. Quedé pasmado un largo rato mirándome y luego volví a la cama. Tardé en dormir de nuevo, pero me venció el enorme cansancio que sentía. 

Al día siguiente me desperté en otro mundo. Era mi casa, mi familia, mis objetos, pero de la noche a la mañana se habían realizado cambios muy drásticos. Ya mencioné algunos muebles y objetos que antes no estaban. Así como yo, mi esposa tenía otra cara, como si de pronto se hubiera enfermado. Mi hija, que el día anterior era una niña de primaria, parecía una joven universitaria. Mi teléfono era otro modelo, con varias aplicaciones desconocidas e interesantes. Una de ellas, el calendario, marcaba el 11 de mayo de 2024. Y entonces sentí con un golpe en el corazón la conciencia de lo sucedido. El tiempo había pasado como un tsunami sobre nosotros. Habían transcurrido más de ocho años. Y yo había aparecido en el cuerpo de mi yo futuro, que ahora era ocupado por el yo del pasado.

Comprendí que no había manera de convencer, ni siquiera a mi propia familia, de lo que había sucedido realmente. Lo interpretarían como una broma o como una alteración de mi psique. Sólo me quedaba aguantar mi nueva condición en solitario. Pero esto no es sencillo: tuve que informarme obsesivamente de todo lo que había acontecido en mí, en mi casa, en mi país y en el mundo durante esos ocho años. Por supuesto tenía que enterarme primero de los acontecimientos más notables, incluyendo los grandes cataclismos en México y en todo el planeta. Hubo una pandemia como no se había visto en un siglo, que paralizó la humanidad entera durante dos años. Hay una guerra en Ucrania que ya lleva más de dos años por una invasión de Rusia. Israel está acabando de destruir la franja de Gaza, cometiendo un genocidio que ya lleva varios meses. Hubo un terremoto en México, casi tan letal como el de 1985. Un huracán destruyó Acapulco y se tuvo que reconstruir completamente.

La realidad política de mi país es extraordinaria e impactante para mí: después de décadas de lucha y evolución de la izquierda, esta llegó al poder de la presidencia de México, a manos del perseverante líder Andrés Manuel López Obrador, quien triunfó contundentemente en el tercer intento, tras una hilera continua e interminable de obstáculos, que no terminó a lo largo de todo el sexenio. En el momento de mi llegada, faltaba menos de un mes para las elecciones presidenciales, y el clima político era un pandemónium. Finalmente la izquierda refrendó el 2 de junio una victoria aplastante y por primera vez en 200 años de Historia de México, la república tiene una mujer presidenta: Claudia Sheinbaum, quien ha sido muy cercana a AMLO desde hace más de dos décadas, pero yo no imaginaba que llegaría a tener un papel tan importante en la Historia. 

Pero lo más difícil ha sido informarme sobre mí mismo. Por fortuna he mantenido la costumbre de escribir día con día mis actividades en agendas anuales desde los años noventas del siglo anterior. Así que he tenido que estudiar, casi memorizar, cada página de estas agendas de 2015 a 2024, escritas por un Rogelio que vivió normalmente estos ocho años. Esto me lleva a preguntar por ese Rogelio. ¿Dónde está? ¿Este salto que yo realicé provocó un corrimiento y el otro Rogelio también saltó unos años en el futuro, y está viviendo ahora la misma traumática experiencia que yo estoy viviendo, pero en el año 2032? Esto asumiendo que todos los saltos son de ocho años, aproximadamente. O peor aún, ¿ese Rogelio regresó a sustituirme en el año 2015 y vivirá de nuevo todas esas experiencias? En ese caso ¿sigue teniendo el recuerdo de ellas? ¿En cualquier caso podría modificarlas? ¿Se trata de una realidad alterna? Todas estas preguntas me han quitado el sueño y no creo que pueda responderlas algún día.

Pero volviendo a mi nueva cotidianeidad, es el estudio de estas agendas lo que me ha permitido sobrellevar una pérdida de la memoria de estos ocho años, sencillamente porque yo no los he vivido. El Rogelio que sí los vivió fue dos veces a Londres con su hija, fue coordinador de un posgrado, escribió varios artículos, hizo varios videos, se volvió obsesivamente aficionado al tenis, al grado de ver todos los torneos y estar al tanto de los rankings y las estadísticas. Por cierto que las grandes leyendas del tenis, Serena y Federer, se han retirado, y parece que Nadal lo hará pronto. Una tenista española, Garbiñe Muguruza, fue la principal obsesión tenística de ese Rogelio desde 2017 hasta que ella se retiró hace unos meses.

Así que ahora escribo en este blog como acostumbraba. Sólo que ahora la fecha resulta ser ocho años más tarde, debido a un suceso inexplicable con el que estoy aprendiendo a convivir. 

Macbeth, la nueva versión cinematográfica que es una joya verdaderamente shakespeariana.

Entrado en reseñas, ahora escribo la de una joya cinematográfica que ha llegado a nosotros desde Australia, considerando que ese es el país de origen del joven director Justin Kurzel. Esta es su segunda película (habiendo participado anteriormente en una recopilación de cortos después de su ópera prima Snowtown), y esperaremos con ansia la siguiente. El reto era enorme: poner en el cine una de las más grandes tragedias de Shakespeare, sin caer en los diversos caminos zurcados por directores como Kurosawa o Polanski, y por actores como Orson Welles, Patrick Stewart o Ian McKellen. Una vez caída en esos enormes zurcos, la comparación estaría prácticamente perdida. Pero en cambio, tenemos una versión original, sólida, a la altura de las mencionadas, y lo más importante, con un profundo y original sabor a Shakespeare.

Kurzel se permite un estilo sobrio, reflexivo, contemplativo, contrario a la tendencia espectacular del mainstream, muy a la manera del cine ruso como el de Eisenstein o el de Tarkovski. Es un estilo sólido y congruente que se conserva de principio a fin, y resulta muy adecuado a la tragedia original, maridando deliciosamente con los vastos y fríos paisajes escoceses del medioevo. La fotografía es uno de las caras más notables de este diamante. No sólo los grandes planos secuencia (de nuevo Tarkovsky), sino, contrapunteando, los close-ups y las cámaras lentas de los detalles en ciertas escenas, entre otras cosas.

Las actuaciones son excelsas, por supuesto encabezándolas Michael Fassbender (Macbeth) y Marion Cotillard (Lady Macbeth) que hace un personaje a la altura dramática de ese otro inolvidable y  tan diferente como Edith Piaf en La Vie en Rose. La actuación de ambos encaja en el estilo contemplativo de toda la obra, y el espectador puede introducirse en los universos horrorosos de ambos personajes, y puede comprender la maquinaria de locura y de muerte que ambos construyen, movidos por los hilos de las brujas.

Aquí también cabe destacar a las brujas, quienes sorpresivamente aparecen acompañadas de una niña y un bebé. Y dentro del estilo sobrio, no presentan ninguna característica física que acentúe su sobrenaturaleza, como es usual. Su apariencia es la de cualquier grupo de mujeres campesinas. Su sobrenaturaleza consiste en el momento en que aparecen, y en la actitud de absoluto testimonio. Esta característica la comparten los fantasmas que se aparecen ante Macbeth, como unos personajes más en alguna concurrencia, casi sin destacarse, presentando si acaso sus heridas de muerte.

La tragedia es expuesta al máximo: la maquinaria de muerte construida por los Macbeth termina consumiéndolos. Fassbender y Cotillard forman una pareja impresionante dentro de un escenario inolvidable elaborado por un joven maestro. Tengo una gran inquietud por ver su próxima película, Assassin's Creed, en la que probablemente el trío Kurzel-Fassbender-Cotillard volverá a esculpir algo interesante, por lo menos. Veamos.

Víctor Frankenstein, otra versión cinematográfica del mito.

Ayer fui a ver la nueva versión cinematográfica de Frankenstein, llamada Víctor Frankenstein, dirigida por el escocés Paul McGuigan y estelarizada por James McAvoy (Víctor) y Daniel Radcliffe (Igor). Para mí que soy un adorador del mito de Frankenstein y para quien la novela de Mary W. Shelley es el manantial desde donde brota la esencia de dicho mito, es inevitable mirar cualquier manifestación artística de este mito.

Esta película tiene todos los recursos de que dispone una producción (¿o superproducción?) del mainstream cinematográfico mundial. Plantea un énfasis casi total, como lo indica el título, en el personaje de Víctor Frankenstein. Ya esto es para mí una mutilación del mito, cuya principal característica radica en que se trata de un doble mito, centrado en dos seres que coexisten en la tragedia con la misma intensidad dramática, es decir, Frankenstein y la Criatura. Desde la primera hasta la última página de la novela de Mary W. Shelley la historia trágica se teje con estos dos hilos robustos. La tragedia deviene de esta coexistencia indisoluble.

Es cierto que antes de la creación del monstruo, su estado embrionario consiste en la materia muerta a la que Víctor quiere dotar de vida en su obsesión por vencer las leyes de la Naturaleza, y por lo cual Mary W. Shelley llamó a Frankenstein el Moderno Prometeo. La película narra todo este período previo a la creación y finaliza con esta. Así que aquí, la Criatura no pasa de ser un embrión y al final es una creación puramente violenta, en la que no se aprecia la conciencia. La tragedia del mito está cercenada, porque es precisamente la conciencia de la Criatura el motor de esta tragedia.

Asumiendo esta grave amputación, veamos pues a Víctor en su obsesión por animar la materia muerta. Esta es en efecto la motivación del personaje de la película, justificada por la muerte de un hermano mayor, llamado Henry, dentro de la alteración que hace el guión sobre la familia Frankenstein, respecto de la novela concebida por Mary W. Shelley. Es decir, la obsesión es rebajada a un terreno humano, pues el Víctor Frankenstein de la novela no necesita de parientes muertos que haya que revivir. Su obsesión es titánica, como la de Prometeo: es quitarle a los dioses o a la Naturaleza el derecho exclusivo de dotar vida. El director le indica al actor que haga a un obsesivo al borde de la locura y el resultado es una sobreactuación de McAvoy, a base de expresiones artificiales que enmascaran la obsesión más sutil y poderosa del personaje literario.

Otras sobreactuaciones están presentes: la del niño rico que financia el proyecto de Frankenstein, convirtiéndolo en algo que pudiera haber organizado la NASA, en vez de el hombre maniaco y solitario que tiene un proyecto íntimo. Pero también está la de Andrew Scott, que personifica un Sherlock Holmes católico, a manera de antagonista, quien llega al paroxismo de la sobreactuación con las expresiones faciales de sorpresa al llegar al castillo que ha explotado con una sobrecarga. Es lamentable, tratándose del actor que hizo un excelente Moriarty en la serie Sherlock, que entre otros fue dirigida por Paul McGuigan. (Pareciera que el director quiso llevarse la producción de Sherlock al mito de Frankenstein.)

La película tiene como co-protagonista a Igor, el asistente de Frankenstein que comenzó a aparecer por lo menos desde la película de 1931 y que se ha vuelto parte del estereotipo. Es la inserción de este personaje en el guión la que salva la pelicula, aunque Igor mismo no se salva del pandemonium (que pretende ser climático) previo al final anticlimático: el monstruo destruido (por lo menos lo hubieran dejado vivo y suelto), Frankenstein exiliado, prometiendo nuevas obsesiones (mundanas) e Igor y Lorelei felices con sus vestuarios elegantes que nadie sabe cuándo habrán de devolver, pues su estatus económico y social no está claramente resuelto. La actuación de Radcliffe, quien está logrando desprenderse de Harry Potter, es muy interesante al principio de la película y después cumple su papel mejor que McAvoy. Teniendo como referencia de nuevo la novela, Igor juega el papel de Henry, el amigo de Víctor, quien no participa mucho de la obsesión y el proyecto de él, lo cual muestra el grado de intimidad que tiene este proyecto para Víctor. Dicho sea de paso, en la novela Henry acaba siendo también asesinado por la Criatura.

Interesante y visual, es lo que me queda para calificar esta película, que por lo menos no llega a la mediocridad del churro de 2014, I, Frankenstein.

Jean Sibelius y el Cubo de Rubik

Hace dos días fui a un concierto de la OFUNAM. La atracción principal era el Concierto para piano no. 4 de Beethoven, con un brillante joven pianista chino, Haochen Zhang, pero tuve el agradable añadido de apreciar la Segunda sinfonía de Jean Sibelius, quien este año cumple los 150 años de nacido. Me topé en el programa de mano con un excepcional texto sobre dicha obra de Sibelius y el cubo de Rubik, de Roberto Ruiz Guadalajara, y lo reproduzco completo a continuación:

<<Todos sabemos que un cubo de Rubik, al igual que cualquier otro cubo "bien educado", tiene seis caras, cada una dividida en nueve pequeños cuadrados. Pero en él, cuando está "armado", cada cara es de un color distinto: rojo, azul, verde, amarillo, naranja y blanco. Gracias a un mecanismo giratorio los pequeños cuadrados pueden desplazarse a ocupar una cara distinta a la de su color original, en un proceso de descomposición del orden cromático inicial, en el que cada pequeño cuadrado puede combinarse sólo con algunos otros, pues cada uno de los cuadrados que están ubicados en las esquinas del cubo se encuentra irremediablemente unido a otros dos, formando en total ocho semicubos de tres caras, mientras que cada uno de los cuadrados que se encuentra en el extremo de cada una de las bandas centrales está inevitablemente casado con otro de un color diferente, formando un total de doce parejas, además de que en el centro de cada cara del cubo hay un cuadrado libre de transitar por la superficie del mismo sin estar "comprometido" con ningún otro cuadrado, pero eso sí, obligado siempre a ocupar el centro de cada cara, de tal manera que hay un cuadrado feliz por cada cara del cubo, lo que da un total de seis. De tal forma que ocho tríos de cuadrados, más doce parejas, más seis cuadrados solteros dan en total los cincuenta y cuatro cuadrados pequeños que uno tiene que ir acomodando y desacomodando hasta lograr que todos los de igual color habiten en perfecta armonía en la misma cara del cubo.

Si quisiéramos establecer una comparación entre el cubo de Rubik y los procesos que sigue Jean Sibelius para dar forma a su Segunda sinfonía, diríamos que Sibelius comienza su trabajo constructivo con un cubo desordenado en el que cada cuadrado es un pequeño motivo rítmico-melódico que puede ser simple (como los cuadrados solteros), o más complejo (como los cuadrados casados o los que viven en trío), a diferencia de lo que hace un compositor en una sinfonía tradicional, donde desde el principio presenta completos los temas con los que va a trabajar (sobre todo en el primer y último movimientos), y los va descomponiendo mostrando sus distintas posibilidades de elaboración o de combinación con otros temas (como si comenzara con un cubo "armado" y fuera separando y combinando sus componentes para crear nuevos diseños en cada cara, para al final regresar a la forma original). En cambio Sibelius parte de presentar los pequeños motivos (solteros, casados o en trío), para ir desarrollándolos y combinándolos a lo largo  de toda la sinfonía hasta llegar a la plena realización de la gran idea, que fue construyéndose paciente e inteligentemente a lo largo del proceso, al igual que al armar el cubo de Rubik poco a poco cada cara va alojando a todos y cada uno de los pequeños cuadrados que la conforman, hasta hacer surgir el gran cubo-melodía de seis colores en el que la individualidad de cada uno de los motivos encuentra su sentido en función del todo. El proceso abarca los cuatro movimientos de la obra, por lo que uno puede tener la sensación de que cada movimiento aislado suena inconcluso o no conduce a nada, salvo el último, que si se escucha por separado, produce el mismo efecto de llegar a una fiesta cuando ya todos están ebrios y cantando.

La práctica de utilizar pequeños motivos y sus transformaciones a manera de tabiques o módulos para construir una estructura que permita alcanzar una imagen final, encuentra antecedentes remotos en el tratado Sobre la música de San Agustín, en el que este define la música como "la ciencia del bien modular", que significa el conocimiento que permite medir bien, y por lo tanto pronunciar correctamente la sonoridad de las sílabas que forman las palabras para extraer de ellas su fuerza creadora, la misma que llevó a Dios a crear el mundo a partir del verbo. También está presente en las prácticas de los cabalistas medievales que permutaban las palabras de la Torá para encontrar el nombre de Dios. Y en tiempos más cercanos a Sibelius encontramos ejemplos muy claros en la Quinta sinfonía de Beethoven (en la que el motivo de cuatro sonidos con el que inicia se va transformando a lo largo de los cuatro movimientos), o en el Concierto para piano y orquesta no. 1 de Tchaikovsky, en el que al igual que en la Quinta de Beethoven, un motivo de cuatro sonidos pasa por todo tipo de vicisitudes a lo largo de la obra hasta alcanzar su apoteosis final.

No es gratuito evocar a San Agustín o a los cabalistas, que tan bien conocían el poder de las palabras, pues en el canto XVII del Kalevala, libro que tanto inspiró a Jean Sibelius, se narra cómo el viejo y sabio bardo Väinamöinen desciende a las entrañas del gigante Antero Vipunen, cuyo inmenso cuerpo yace en lo profundo de los bosques, buscano en él las palabras necesarias para construir el barco que le ha pedido en prenda la hija de la Dama de Pohjola para darle su mano. La Segunda sinfonía de Sibelius, es  como un enorme barco construido a lo largo de los tres primeros movimientos, y cuya estructura total sólo podemos contemplar al final de la obra antes de lanzarlo a las aguas misteriosas de la memoria. El mismo Sibelius dijo. "Es como si el Todopoderoso hubiera arrojado mosaicos del piso del cielo y me hubiera pedido que los armara.">>

Una fórmula directa para los Números de Fibonacci

Los Números de Fibonacci son aquellos que se obtienen de la siguiente fórmula recursiva:
$$\begin{align}
x_0 &=1 \\
x_1 &=1 \\
x_{n+2} &=x_n+x_{n+1}
\end{align}$$
Esto significa que, considerando que los dos primeros números en la lista son \(1\) y \(1\), cada número se obtiene sumando los dos anteriores. Así que la lista comienza:
$$1,1,2,3,5,8,13,21,\dots$$
La fórmula anterior es recursiva porque arroja números en términos de otros números anteriores de la misma lista. Por supuesto es importante conocer los primeros dos números para obtener los sucesivos. Pero ¿existe una fórmula directa de los Números de Fibonacci? Con "fórmula directa" me refiero a una fórmula que nos diga cuál es el número de la lista que está en el lugar \(n\), y que dependa sólo de \(n\). La respuesta es afirmativa, y a continuación deduciré esta fórmula directa utilizando sobretodo el concepo de diagonalización de una matriz cuadrada.

Lo primero es escribir la fórmula recursiva de otra manera, usando el producto de matrices:
$$
\begin{pmatrix}
x_{n+1} \\ x_{n+2}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\ 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_n \\ x_{n+1}
\end{pmatrix}
$$
Usando una notación más compacta:
$$V_{n+1}=AV_n $$
Esto es de nuevo una fórmula recursiva, con la ventaja de que puede obtenerse una fórmula más directa:
$$V_n=A^nV_0 $$
donde
$$V_0=
\begin{pmatrix}
0\\ 1
\end{pmatrix}
$$
Listo: esto nos daría una fórmula directa para el número \(x_n\) de la sucesión de Fibonacci. Pero hay un problema: necesitamos conocer la matriz \(A^n\). Para esto necesitamos también una fórmula directa. Y aquí es donde entra el concepto de diagonalización.

Se dice que una matriz cuadrada \(A\) es diagonalizable si existe una matriz invertible \(P\) tal que la matriz \(D=P^{-1}AP\) sea una matriz diagonal, es decir, una matriz que tiene todas sus entradas iguales a cero, excepto posiblemente en la diagonal principal. La teoría nos dice que de ser posible esto, las entradas de la diagonal son precisamente las raíces reales de su polinomio característico:
$$\det(xI-A)$$
Si estas raíces son distintas, siempre es posible llevar a cabo la diagonalización. Una vez que se tienen estos valores queda establecida la matriz diagonal \(D=PAP^{-1}\) y por tanto la matriz \(D^n\), que consta de las potencias \(n\)-ésimas de cada elemento de la diagonal de \(D\). Con esto puede obtenerse \(A^n\) como sigue:
$$A^n=(PDP^{-1})^n=PD^nP^{-1}$$
En nuestro caso, el polinomio característico de \( A=\big(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\big)\) es:
$$\det\begin{pmatrix} x & -1 \\ -1 & x-1 \end{pmatrix} =x(x-1)-1=x^2-x-1$$
cuyas raíces son los números:
$$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\text{ ,   } 1-\varphi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$
\(\varphi\) es el famoso número áureo o proporción áurea, que es la proporción entre los lados mayor y menor de un rectángulo áureo, aquel que tiene la propiedad de que al recortar un cuadrado queda otro rectángulo con la misma proporción entre sus lados:

En la figura, el rectángulo de lado mayor \(A+B\) y lado menor \(A\) es áureo, así como el rectángulo de lado mayor \(A\) y lado menor \(B\) si se cumple que:

$$\frac{A+B}{A}=\frac{A}{B}$$

En ese caso \(\varphi=\frac{A}{B}\) es el número áureo, que satisface por lo tanto que:

$$1+\frac{1}{\varphi}=\varphi$$

o lo que es lo mismo:

$$\varphi^2-\varphi-1=0$$

es decir, \(\varphi\) es la raíz positiva del polinomio

$$x^2-x-1=0$$

que es el polinomio característico de la matriz \(A\). La raíz negativa es precisamente \(1-\varphi\).

La teoría nos dice que podemos construir una matriz \(P\) invertible tal que \(P^{-1}AP\) es la matriz diagonal

$$D=\begin{pmatrix} \varphi & 0 \\ 0 & 1-\varphi \end{pmatrix}$$

El procedimiento consiste en encontrar vectores columna distintos de cero que sean cada uno solución respectivamente de los sistemas de ecuaciones:

$$\begin{pmatrix} -\varphi & 1 \\ 1 & 1-\varphi \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

y

$$\begin{pmatrix} \varphi-1 & 1 \\ 1 & \varphi \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Podemos considerar entonces como soluciones de estos respectivos sistemas a los vectores columna:

$$\begin{pmatrix} \varphi-1 \\ 1 \end{pmatrix} \text{  y  } \begin{pmatrix} -\varphi \\ 1 \end{pmatrix}$$

para construir la matriz

$$P=\begin{pmatrix} \varphi-1& -\varphi  \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

cuya matriz inversa es

$$P^{-1}=\frac{1}{2\varphi-1}\begin{pmatrix} 1& \varphi  \\ -1 & \varphi-1 \end{pmatrix}$$

es decir

$$PP^{-1}=P^{-1}P=\begin{pmatrix} 1& 0  \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

En efecto, puede corroborarse que

$$P^{-1}AP=\begin{pmatrix} \varphi & 0 \\ 0 & 1-\varphi \end{pmatrix}$$

Ahora obtengamos la enésima potencia de la matriz diagonal anterior:

$$D^n=\begin {pmatrix} \varphi^n & 0 \\ 0 & (1-\varphi)^n \end{pmatrix} $$

Por tanto, podemos obtener:

$$A^n = \frac{1}{2\varphi-1} \begin{pmatrix}\varphi-1& -\varphi  \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin {pmatrix} \varphi^n & 0 \\ 0 & (1-\varphi)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1& \varphi  \\ -1 & \varphi-1 \end{pmatrix}$$

es decir, haciendo las cuentas:

$$A^n = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} (\varphi-1)\varphi^n+\varphi(1-\varphi)^n & (\varphi-1)\varphi^{n+1}+\varphi(1-\varphi)^{n+1} \\ \varphi^n-(1-\varphi)^n & \varphi^{n+1}-(1-\varphi)^{n+1} \end{pmatrix}$$

Sustituyendo en la fórmula

$$V_n=A^nV_0 $$

y considerando \(x_{n+1}\) obtenemos:

$$ x_{n+1}=\frac{\varphi^{n+1}-(1-\varphi)^{n+1}}{\sqrt{5}}$$

o bien, ¡ la fórmula directa para el término  \(x_n\) de la sucesión de Fibonacci !:

$$ x_n=\frac{\varphi^n-(1-\varphi)^n}{\sqrt{5}}$$

Retorno al Modelismo

Después de años que se pierden en la estela de la vida, regreso a uno de mis actividades favoritas: el modelismo. No recuerdo con precisión cuántos aviones y coches a escala armé cuando era niño, pero sé que fueron sólo unos cuantos, que quizás no hayan llegado a la decena, y sé también que la marca de estos modelos era Revell-Lodela. Ahora me estoy enterando de que Revell es una fábrica originalmente estadunidense (aunque por lo que se encuentra uno en Google parezca alemana, pero viendo bien su logotipo lleva los colores consabidos de la bandera de EUA), que Lodela era la compañía distribuidora en México, cuyo nombre es abreviatura de López de Lara, apellidos de un hombre considerado fundador del modelismo en México, y que la compañía se echó a perder porque los herederos de López de Lara no tenían la capacidad para sostenerla.

Este es el modelo que estoy armando:

Y es que los Mustang siempre me gustaron. Tal vez sea esa suave caída del techo hacia la parte trasera; o tal vez sea el caballo que tiene como símbolo. El caso es que lo preferí al Ferrari.

Parece que según la terminología moderna soy un multitasking: me gusta hacer varias cosas al mismo tiempo, pero no sólo me gusta, sino que lo necesito, porque de esa manera una actividad motiva a las otras. Así que, habiendo destinado un escritorio para dejar las piezas y herramientas listas para trabajar, estoy yendo a ese nicho de mi vida cuando me lo permiten las circunstancias, pintando y pegando unas pocas piezas al día, o cada tercer día. No llevo prisa, y como cada cosa que hago, me gusta saborear la actividad.

He encontrado que este armado minucioso requiere mucha paciencia, pero también que, puesto en el canal de la ausencia total de prisa, proporciona una calma deliciosa. Me gusta ir a la minuciosidad extrema, como si estuviera hundiéndome en un fractal, aprovechando mi miopía, que me permite sin lentes ver muy de cerca con claridad los detalles diminutos. Llego al grado de pintar con un alfiler.

Bendita miopía.