Los Conejos de Fibonacci
Hace muchos años, casi 300 antes del Descubrimiento de América se escribió un libro titulado Liber Abaci (Libro del Ábaco). Su autor era un matemático italiano, de la ciudad de Pisa. Por eso se llamaba Leonardo de Pisa. Su padre era Guglielmo Bonacci, por lo que también era conocido simplemente como Fibonacci, y fue este nombre el que quedó impreso en la Historia de las Matemáticas.
En el escrito, Fibonacci planteaba el siguiente problema:
Una pareja de conejos recién nacidos necesita exactamente dos meses para madurar y procrear exactamente una sola pareja de conejos. Todas las parejas que nacen van teniendo esas características precisas. ¿Cuántas parejas de conejos se tienen en cada mes?
Comencemos por analizar esta situación con un pequeño cambio: las parejas de conejos están listas para procrear exactamente después de un mes, en vez de dos. En este caso, para saber cuántas parejas nacerán después de cada mes, basta considerar el número de parejas de conejos que se han acumulado hasta antes de ese momento. Por eso lo números obtenidos se van duplicando y se obtienen precisamente las potencias de \( 2 \):
\[ \begin{array}{ c c }
\text{Después del mes} & \text{Conejos nacidos ese momento} \\
\hline
0 & 1 \\
1 & 1 \\
2 & 2 \\
3 & 4 \\
4 & 8 \\
5 & 16 \\
\vdots & \vdots \\
\end{array} \]
De manera equivalente, cada número, a partir del mes \( 2 \), se obtiene duplicando el número anterior. Nótese que en el mes cero tomamos en cuenta sólo la pareja inicial. Regresemos al problema original: las parejas de conejos deben esperar exactamente dos meses antes de procrear. Eso significa que para calcular cuántas parejas nacerán después de cada mes, hay que considerar las parejas de conejos que se han acumulado hasta antes del mes anterior. De esta menera se obtienen los siguientes números:
\[ \begin{array}{ c c }
\text{Después del mes} & \text{Conejos nacidos ese momento} \\
\hline
0 & 1 \\
1 & 0 \\
2 & 1 \\
3 & 1 \\
4 & 2 \\
5 & 3 \\
\vdots & \vdots \\
\end{array} \]
De manera equivalente, cada número, a partir del mes \( 4 \), se obtiene sumando los dos anteriores. Esto se puede describir mejor con un lenguaje matemático:
\[ \begin{align}
x_1 &= 1 \\
x_2 &= 1 \\
x_n &= x_{n-1}+x_{n-2} \text{, si }n\geq 3
\end{align} \]
Esta descripción se llama recursiva y se caracteriza por calcular cada número en términos de los anteriores, en este caso, en términos de los dos anteriores.
A la sucesión de números obtenidos:
\[1,1,2,3,5,8,13,21,\dots \]
se le llama Sucesión de Fibonacci. Por supuesto que puede haber muchas sucesiones de este tipo, cuya descripción sea recursiva, pero esta tiene interés especial, como veremos en otras publicaciones.
